Математика цариця наук звязок математики з іншими науками (стр. 7 из 13)

Відповідь: Ваш товар кращий ніж у конкурента.

Задачі на банківські відсотки:

За збереження заощаджень вкладника і дозвіл розпоряджатися цими грошима банк виплачує вкладнику відсотки до суми грошей, що зберігається. У залежності від способу нарахування відсотки поділяються на прості і складні.

1. Прості відсотки.

Збільшення внеску S₀ за схемою простих відсотків характеризується тим, що суми відсотків протягом усього терміну збереження визначаються виходячи тільки з первісної суми внеску незалежно від терміну збереження і кількості періодів нарахування відсотків. Нехай вкладник відкрив рахунок і поклав на нього S₀ гривень. Нехай банк зобов'язується виплачувати наприкінці кожного року р% від первісної суми S_0. Тоді після

закінчення одного року сума нарахованих відсотків складе

^{S0 p} грн., і

100

величина внеску стане рівної S₁=S₀ (1+

^p ) . Величину р% називають

100

річною процентною ставкою. Якщо залишити внесок ще на рік, то нарахування процентної ставки виробляється на первісний внесок S₀ і не

виробляється на величину

^{S0 p} . Тобто, через n років сума нарахованих 100

відсотків складе S_n =

^{nS0 p} грн., а величина внеску разом з відсотками 100

складе S_n = S₀(1+

^np ) грн. Відношення ^Sn називають коефіцієнтом

100 S₀

нарощування простих відсотків.

Задача 1.

Вкладник відкрив у банку рахунок і поклав на нього S₀ = 150 000 грн. терміном на 4 роки під прості відсотки по ставці 18% у рік. Якою буде сума S₄, що вкладник одержить при закритті внеску? На скільки грн. виросте внесок за 4 роки? Чому дорівнює коефіцієнт нарощування?

Розв’язок.

У нашому випадку S₀ = 150 000, p = 18, n = 4. По формулі S_n = S₀ ^. ( 1 +

^{n× p} ) грн. маємо S4 =150 000 ^. ( 1 +^{18 ,4} ) = 258 000 грн.

100 100

За 4 роки внесок збільшився на 108 000 карбованців: 258 000 карбованців – 150 000 карбованців. Коефіцієнт нарощування по формулі

S_n p ×n S₄

= (1+ ) дорівнює = 1,72. Він показує, що за 4 роки первісний

S₀ 100 S₀

внесок S₀ збільшився в 1,72 рази.

Задача 2.

Яку річну ставку простих відсотків виплачує банк , якщо внесок 12 000 грн через 3 роки досяг величини 14 160 грн.? Визначите коефіцієнт нарощування.

Розв’язок.

За умовою, S₀ = 12 000, S₃ = 14 160, n = 3. Зі співвідношення n× p

S_n = S₀ (1+

) грн. шукаємо p. Підставляємо в отримане рівняння задані 100 значення, обчислюємо результат: p = 5,9, тобто p » 6% . Коефіцієнт

нарощування дорівнює

^S3 = 1,18.

S₀

2. Складні відсотки.

Якщо відсотки нараховуються не тільки на первісний внесок, але і на прирослі відсотки, то таке нарахування називають правилом складних відсотків. Це правило тісне зв'язано з формулою визначення концентрації розчину після n переливань.

Ми говоримо, що маємо справу з “складними відсотками”, у тому випадку, коли деяка величина піддається поетапній зміні. При цьому щораз її зміна складає визначене число відсотків від значення, що ця величина мала на попередньому етапі.

Розглянемо спочатку випадок, коли наприкінці кожного етапу величина змінюється на ту саму постійну кількість відсотків - р%.

Деяка величина S, вихідне значення якої дорівнює S₀, наприкінці першого етапу буде дорівнює

₁ = S₀ + p ×S₀ = S₀æç1+ p ö÷ .

S

100 è 100ø

Наприкінці другого етапу її значення стане рівним

S0æç1+ p ö÷× p 2

S2 = S1 + S1 × p = S0æç1+ p ÷ö+ è 100ø = S0çæ1+ p ö÷çæ1+ p ÷ö = S0æç1+ p ÷ö

100 è 100 ø 100 è 100øè 100ø è 100ø

S2 = S0 æç1+

p ö÷2 . è 100ø

Тут множник 1+p/100 показує, у скількох разів величина S збільшилася за один етап.

Наприкінці третього етапу

S3 = S2 + S2 æç

p ÷ö = S0 æç1+ p ö÷³

è100ø è 100 ø

Неважко зрозуміти, що наприкінці n-го етапу значення величини S

визначиться формулою S_n = S₀ ^æç1+

^{p ö}÷ⁿ (1) è 100ø

Формула (1) є вихідною формулою при розв’язанні багатьох задач на відсотки.

Задача 5. Банк має вклади (депозити) від клієнтів на суму 100 млн грошових одиниць і сплачує 8% по вкладах. Він надає кредити на суму 95 млн. грошових одиниць і бере 12% за кредит. Яким буде прибуток банку?

100 млн. г. о. – 100% х г. о. – 8%

х = 100

млн.г.о.×8% = 8 млн. г. о. 100% 95 млн. г. о. – 100% х г. о. – 12%

х =

95млн.г.о.×12% = 114 тис. г. о.

100%

Задачав 6. У 1620 р. Пітер Мініт купив острів Манхеттен у індіанців за дрібнички, які тоді коштували приблизно 25$. Яку суму отримали б нащадки тих індіанців у 2008 р. якби покласти ці гроші в банк під 5 % річних з нарахуванням складних відсотків.

2008 р. – 1620 р. = 388 років

S388 = 25^æç1+

5 ^ö÷388 . è 100ø

Як показує практика для проведення середніх розрахунків достатньо знань 9-го класу з математики.

Якщо бути точним то в економіці окрім прямих розрахунків, математичного аналізу, статистики, широко використовується теорія ймовірності, та залежність одного фактору від іншого, тобто певна функція.

Задача. Знайти надлишок і нестачу пропозиції зерна, та перенести дані на графік і визначити ціну ринкової рівноваги.

ціна за 1 ц, гошових одиниць	величина пропозиції за місяць, Ц	величина попиту за місяць, ц	надлишок пропозиції, +, ц нестача пропозиції, – , ц
500 400 300 200 100	32 30 25 15 0	10 15 25 40 60	+ 22 +15 0 - 25 - 60

Графічне зображення даних таблиці показує, що криві попиту (DD) і пропозиції (SS) перетинаються лише в одній точці (Е). Цій точці відповідає ціна рівноваги попиту і пропозиції. Якщо ціна встановлюється на рівні, який перевищує ціну рівноваги, пропозиція перевищує попит, виникає надлишок. Коли ціна нижча, ніж ціна рівноваги, попит перевищує пропозицію, виникає дефіцит.

Економічний зміст похідної.

З економічним змістом похідної учні знайомляться на конкретних прикладах після засвоєння правил диференціювання.

Нехай функція u = u(t) виражає кількість виробленої продукції u за час t. Необхідно знати продуктивність праці в момент t₀. Очевидно, за період часу від t₀ до t₀ + Dt кількість виробленої продукції змінится від значення u₀ = u(t₀) до значення u₀ + Du = u(t₀ + Dt) ; тоді середня