Элементы теории вероятностей (стр. 3 из 4)
Решение. А)
1) Испытание Подбрасывается 3 монеты одновременно.
2) ПЭС: выпишем все возможные исходы испытания, обозначив буквой Г – появление «герба», а буквой Ц – появление «цифры»:
{ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ; ГЦЦ; ЦЦЦ}, n = 8.
3) Проверим условия КСИ: 1) число исходов испытания n = 8 конечно;
2) так как при однократном подбрасывании трех монет может появиться только один из перечисленных исходов, то исходы испытания несовместны;
3) так как шансы на выпадение «герба» или цифры» на каждой из монет одинаковые, то исходы испытания равновозможные.
4) Событие А: все три монеты упали на одну сторону.
5) Среди перечисленных исходов испытания только два – ГГГ; ЦЦЦ – благоприятствуют Событию А, поэтому m = 2.
6)
= 
= 0,25.Решим задача под буквой Б).
1) Испытание Подбрасывается 3 монеты одновременно.
2) ПЭС: выпишем все возможные исходы испытания, обозначив буквой Г – появление «герба», а буквой Ц – появление «цифры»:
{ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ; ГЦЦ; ЦЦЦ}, n = 8.
3) Проверим условия КСИ: 1) число исходов испытания n = 8 конечно;
2) так как при однократном подбрасывании трех монет может появиться только один из перечисленных исходов, то исходы испытания несовместны;
3) так как шансы на выпадение «герба» или «цифры» на каждой из монет одинаковые, то исходы испытания равновозможные.
4) Событие А: при однократном подбрасывании трех монет появился хотя бы один «герб».
5) Событие А среди перечисленных исходов благоприятствуют следующие: ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ; ГЦЦ, поэтому m = 7.
6)
= 
.Ответ: А) Р(А) = 0,25; Б) Р(А) =
.Замечание. Эта задача имеет и другое решение. Если иметь ввиду, что проводится не одно испытание, а три, то эти испытания удовлетворяют так называемой схеме Бернулли, решение задач в которой осуществляется по другому алгоритму.
Как было выяснено, для вычисления вероятности в КСИ необходимо знать два числа: m - число исходов, благоприятствующих событию и n – число всех исходов данного испытания. В рассмотренных задачах мы эти числа находили непосредственным подсчетом. Однако, при решении многих вероятностных задач для вычисления этих чисел рационально применять комбинаторные формулы.
Рассмотрим решение таких задач.
Задача 4. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых нанесены буквы а, г, и, л, м, о, р, т, получится слово алгоритм?
Решение. Проводим по алгоритму.
1) Испытание Случайным образом располагают 8 кубиков в ряд.
2) ПЭС: каждое элементарное событие ω – слово из восьми букв, поэтому, чтобы подсчитать число элементарных событий нужно решить комбинаторную задачу: Скольким числом способов можно переставить 8 кубиков, на которых написаны буквы а, г, и, л, м, о, р, т.
1) Определим число элементов во множестве из которого выбираем n = 8.
2) Определим число элементов в выборке m = 8.
3) Определим характер выборки: 1) упорядоченная; 2) без повторений.
4) Каждое расположение кубиков, т.е. каждое слово, есть перестановка без повторений, поэтому
40320.Таким образом, решив сформулированную комбинаторную задачу, мы нашли, что ПЭС данного испытания содержит n = 40320 точек.
3) Проверим условия КСИ: 1) число точек в ПЭС конечно n = 40320;
2) одновременно два разных слова при однократном расположении в ряд кубиков появиться не могут, поэтому исходы испытания несовместны;
3) так как располагаем кубики случайным образом, то исходы испытания равновозможные. Условия КСИ выполняются.
4) Событие А: появилось слово алгоритм.
5) Этому событию благоприятствует только один исход испытания, т.е. m = 1.
6)
= 
.Ответ: Р(А) =
Задача 5. Имеется 25 российских и 15 зарубежных марок. Какова вероятность того, что из пяти выбранных наугад марок окажется 3 российские и 2 зарубежные марки?
Решение.
1) Испытание Из 40 марок наудачу извлекают 5.
2) ПЭС: каждое элементарное событие ω – появление определенной пятерки марок, поэтому чтобы определить число точек в ПЭС, нужно решить комбинаторную задачу: скольким числом способов из 40 марок можно выбрать 5? Эту задачу решим по известному алгоритму:
1) Число элементов во множестве, из которого выбираем n = 40.
2) Длина выборки m = 5.
3) Характер выборки: 1) неупорядоченная; 2) без повторений.
4) Каждый набор из 5 марок есть сочетание без повторений, поэтому имеем
= 658008.Таким образом, число точек в ПЭС равно n = 658008.
3) КСИ выполняется.
4) Событие А: появились 3 российские и 2 зарубежные марки.
5) Чтобы определить число исходов, благоприятствующих данному событию нужно решить комбинаторную задачу: скольким числом способов можно выбрать 3 российские марки из 25 и 2 зарубежные марки из 15? В результате решения получаем, что число исходов, благоприятствующих для События А m =
= 241500.6)
= 
0,367.Ответ: Р(А) = 0,367.
Замечание. Может показаться, что совсем не нужно каждый раз останавливаться на проверке условий КСИ, так как они все равно выполняются. Но это очень важный момент при решении вероятностной задачи.
Определение 9. Суммой двух событий А и В называется событие АÈВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно).
Определение 10. Произведением (или пересечением) двух событий А и В называется событие АÇВ (АВ), состоящее в одновременном появлении и события А и события В.
Определение 11. Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)
.
Определение 12. События А1,А2,...,Ак образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно произойдет одно из них , т.е.
.События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно АÇВ=Æ. Если события несовместны, то
Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Задача 6. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы
, где события 
и 
означают выборку пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна 
, а вероятность вытащить две синие пуговицы 
. Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения 
Помимо обычной (безусловной) вероятности можно рассматривать так называемую условную вероятность, вычисляемую при условии, что событие B произошло. Такую вероятность (вероятность А при условии В) обозначают Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:
Из этой формулы вытекает формула для вероятности произведения двух событий (теорема умножения)
.Формула умножения для трех событий:
.Задача 7. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
Решение. Пусть А={старший ребенок – мальчик}, B={в семье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождения мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар:
. В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола и старший ребенок – мальчик, это значит, что второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и