Комплексные числа и действия над ними (стр. 1 из 2)

Лекция 10

Комплексные числа и действия над ними

Рассмотрим уравнение

Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число

(мнимую единицу), которая по определению удовлетворяет уравнению

. Поскольку мы желаем, чтобы элементы этого расширенного множества можно было бы умножать и складывать, то вместе с мнимой единицей мы автоматически присоединяем к вещественной прямой все возможные комбинации вида

Совокупность всех чисел

называется множеством комплексных чисел. При этом число

называется вещественной частью комплексного числа

и обозначается как

а число

называется мнимой частью комплексного числа

и обозначается как

Удобно изображать комплексные числа

в виде точек двумерной плоскости с декартовыми координатами

. В этом случае соответствующая двумерная плоскость называется комплексной.

Операции умножения и деления комплексных чисел.

При умножении комплексных чисел используется обычное соглашение о раскрытии скобок (дистрибутивность умножения):

Пример.

При делении следует использовать операцию умножения на сопряженное выражение.

Пример.

Комплексному числу можно приписать понятие модуля и аргумента, используя полярные координаты на комплексной плоскости.

Модуль числа

равен

Аргументом числа

называется полярный угол

(аргумент является многозначной функцией).

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

, где

Теперь умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, выполняется по формуле

(то есть при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются).

Следствием формулы умножения является следующая формула.

Формула возведения в степень (формула Муавра)

Пример.

Формула извлечения корня

-й степени

Пример. Вычислить

Запишем

в тригонометрической форме:

Тогда получаем

при

Таким образом, всего имеется три комплексных кубических корня из числа

Формула Эйлера

Пример использования.

Вычислить

Воспользуемся формулой Эйлера для выражения функции

через показательную функцию. Имеем:

откуда

Следовательно,

откуда

Первообразная является вещественной функцией, записанной в комплексной форме Чтобы получить вещественную запись этой функции, вновь воспользуемся формулой Эйлера.

Отсюда следует

Ответ:

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Рассмотрим уравнение

где

константы, а функция

в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов

- произвольный многочлен степени

. Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение

назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть

– корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения