Множества Операции над множествами (стр. 2 из 2)

Операции над множествами

С помощью нескольких множеств можно строить новые множества или, как говорят, производить операции над множествами. Мы рассмотрим следующие операции над множествами: объединение, пересечение, разность множеств, дополнение множества. Все рассматриваемые операции над множествами мы будем иллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна.

Объединение множеств

Объединением А

В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

Символическая запись этого определения: А

В={х | х А или х В}.

Здесь союз «или» понимается в смысле «неразделительного или», т.е. не исключается, что х может принадлежать и А и В. Отметим, что в таком случае элемент х, входящий в оба множества А и В, входит в их объединение только один раз (поскольку для множества не имеет смысла говорить о том, что элемент входит в него несколько раз).

Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

На диаграмме объединение множеств А и В выделено штриховкой.

Если множество А определяется характеристическим свойством Р (х), а множество В - характеристическим свойством Q(х), то А

В состоит из всех элементов, обладающих, по крайней мере, одним из этих свойств.

Примеры объединений двух множеств:

1) Пусть А={2; 5; 7}, В={3; 5; 6}. Тогда А

В ={2; 3; 5; 6; 7}.

2) Пусть А=[-1/4; 2], В=[ -2/3; 7/4]. Тогда А

В=[-2/3; 2] .

3) Пусть А= {х | х=8k, k

Z}, B={x | x=8n-4, n Z}. Тогда A B ={x | 4m, m Z}.

Операция объединения множеств может проводиться не только над двумя множествами. Определение объединения множеств можно распространить на случай любого количества множеств и даже – на систему множеств. Система множеств определяется так: если каждому элементу α множества М отвечает множество А_α, то совокупность всех таких множеств мы будем называть системой множеств.

Объединением системы множеств {А_α} называется множество

, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А_α. При этом общие элементы нескольких множеств не различаются.

Таким образом, элемент х

тогда и только тогда, когда найдется такой индекс α ₀ М, что х A _α0 .

В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, … , n, применяется запись

Если M=N, то имеем объединение последовательности множеств .

Рассмотрим ещё один пример: пусть М=(1; 2) и для каждого α є М определим множество А_α =[0;α]; тогда

= [0;2).

Из определения операции объединения непосредственно следует, что она коммутативна, т.е. А₁

A₂ = A₂ А₁, и ассоциативна, т.е. (А₁ A₂) А₃ = А₁ (A₂ А₃).

Пересечение множеств

Пересечением А ∩ В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А и В.

Символическая запись этого определения: А ∩ В={х | х

А и х В}.

Поясним определение пересечения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

А ∩ В

На диаграмме пересечение множеств А и В выделено штриховкой.

Если множество А задается характеристическим свойством Р(х), a множество В-свойством Q(х), то в А ∩ В входят элементы, одновременно обладающие и свойством Р(х), и свойством Q(х).

Примеры пересечений двух множеств:

1) Пусть А={2; 5; 7; 8}, В={3; 5; 6; 7} .Тогда А ∩ В={5; 7}.

2) Пусть А=[-1/4; 7/4], В=[-2/3; 3/2]. Тогда А ∩ В= [-1/4; 3/2].

3) Пусть А= {х | х=2k, k є Z}, B={x | x=3n, n є Z}. Тогда А ∩ В ={x | x=6m, m

Z}.

4) Пусть А- множество всех прямоугольников, В-множество всех ромбов. Тогда А ∩ В -множество фигур, одновременно являющихся и прямоугольниками, и ромбами, т.е. множество всех квадратов.

Операцию пересечения можно определить и для произвольной системы множеств {А_α}, где α

М. Пересечением системы множеств {А_α}, называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А_α, α М, т.е. = {x | x А_α для каждого α М}.

В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, … , n, применяется запись

. Если M=N, то имеем пересечение последовательности множеств .

В рассмотренном выше примере системы множеств А_α =[0; α], α

М =(1; 2) получим: =[0;1].

Операция пересечения множеств, как и операция объединения, очевидно, коммутативна и ассоциативна, т.е. А₁∩A₂ = A₂ ∩А₁ и (А₁∩A₂)∩ А₃= А₁∩(A₂ ∩ А₃).

Разность множеств

Разностью А\В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.

А\В={х | х

А и х В},

что можно пояснить на диаграмме Эйлера-Венна следующим образом:

На диаграмме разность А\В выделена штриховкой.

Примеры разностей множеств:

1. Пусть А={1; 2; 5; 7}, В={1; 3; 5; 6}. Тогда А\В ={2;7}, а В\А={3; 6}.

2. Пусть А=[-1/4;2], В=[-2/3; 7/4]. Тогда А\В=(7/4;2], а В\А=[-2/3; -1/4).

3. Пусть А - множество всех четных целых чисел, В - множество всех целых чисел, делящихся на 3. тогда А\В - множество всех четных целых чисел, которые не делятся на 3, а В\А –множество всех нечетных целых чисел, кратных трем.

Дополнение множества

Пусть множество А и В таковы, что А

В. Тогда дополнением множества А до множества В называется разность В\А. В этом случае применяется обозначение С_BА=В\А. Если в качестве множества В берётся универсальное множество U, то применяется обозначение СА=С_UА=U\А и такое множество просто называют дополнением множества А. Таким образом, символическая запись определения дополнения множества будет следующей: СА={x | x A}.

На диаграммах Эйлера-Венна можно так пояснить определения С_ВА и СА: