П. С. Александров
На вопрос, каково отношение Пуанкаре к топологии, можно ответить одним предложением: он её создал; но можно ответить и циклом лекций, в которых более или менее подробно излагались бы основные топологические результаты Пуанкаре. При первом из этих двух подходов к моей сегодняшней задаче я могу считать её исчерпанной; для второго подхода я, естественно, не имею времени. Приходится искать то или иное промежуточное компромиссное решение — неудачное, как все компромиссы, и во всяком случае более близкое к первому варианту, чем ко второму; это решение может являться лишь попыткой возобновить и освежить эмоцию восхищения актом грандиозного научного творчества, который совершил великий французский геометр в области, влияние которой на всё математическое познание не только превзошло все предвидения современников, но всё ещё возрастает с каждым годом.
Пуанкаре жил в романтическую эпоху истории математических наук, когда впервые (им самим и Ф. Клейном) была доказана непротиворечивость неевклидовой геометрии, вследствие чего наши воззрения на геометрию и самоё понятие геометрического пространства несказанно расширились; когда новые геометрические идеи только что нашли своё применение (в том числе опять-таки в работах самого Пуанкаре) к специальной теории относительности — теории, уже достаточной, чтобы поколебать наши представления о мироздании, казавшиеся незыблемыми со времён Галилея и Ньютона; в эпоху, когда в абстрактных глубинах самой математики возникла теория — по мнению многих выдающихся математиков лежащая уже вне их науки, быть может, даже вне науки вообще — теория множеств, осуществившая в математике переворот столь же значительный, как переворот, произведённый в физике теорией относительности.
По своим математическим вкусам и по унаследованным им традициям, Пуанкаре был представителем классической математики — великой французской школы математического анализа, созданной Лагранжем, Лапласом, Коши. Пуанкаре представлял математический анализ в универсальном понимании этого слова, включающем и теорию функций, и все аспекты дифференциальных уравнений, и «математическую физику» в самом широком смысле. И универсальность Пуанкаре как математика отразилась в том, каким именно образом он создал новую область математики — топологию. Для Пуанкаре топология сначала и прежде всего была могущественным инструментом для решения проблем, возникающих в классических отделах математики. Ими были в первую очередь: теория функций комплексного переменного, тесные связи которой с геометрией, лишь в зародыше усмотренные Риманом, Пуанкаре впервые понял во всей их глубине; теория дифференциальных уравнений — теория, неотделимая для Пуанкаре от небесной механики; сама геометрия. Но понимая мощь топологических методов в «классической математике» и часто предвидя её там, где в его время эти методы ещё не могли быть во всю их силу применены, Пуанкаре открыл для математики и целый мир новых проблем — проблем «качественного», т.е. именно топологического характера, целый мир по своему существу недоступный не только методам, но и самому, если так можно выразиться, мировоззрению «классической» математики, в центре которой находились формула и вычисление (т.е. техника оперирования с формулами). Таким образом, величайший представитель классической математики — Пуанкаре, как никто другой, «взорвал изнутри» её традиции и открыл доступ в неё не только новым методам исследования, но и — что может быть ещё важнее — новым способам видеть вещи и интересоваться ими.
Поясним немного только что сказанное. Всякое математическое творчество в конечном счёте имеет своей основой нашу (математическую) интуицию. Продолжительное, упорное и сосредоточенное размышление в конце концов приводит (к более или менее внезапному) усмотрению существа тех закономерностей, на разыскание которых были направлены наш труд и размышление. Цель последующего исследования — часто также очень кропотливого — в проверке происшедшего усмотрения, в проверке нашей интуиции, которая (если она подтвердится этой проверкой) и окажется настоящим ядром полученного результата. Никто лучше не изложил этот механизм математического творчества, чем это сделал Пуанкаре в своих книгах «Наука и метод», «Наука и гипотеза». Но характер математической интуиции отнюдь не является одним и тем же во всех случаях и у всех математиков: интуиция Якоби была не похожа на интуицию Гильберта, а интуиция Вейерштрасса — на интуицию Пуанкаре.
Вероятно, существует то, что можно было бы назвать «интуицией формулы»: способность предвидеть результат сложного преобразования (например, в тензорном анализе). Существует и интуиция алгебраически-логического характера — ви́дение (и предвидение) сложных логических соотношений (например, в теории множеств в абстрактной алгебре). И наконец (вернее, прежде всего) существует геометрическая интуиция, иногда о ней говорят, как об единственно существующей в математике «подлинной» интуиции. Я думаю, что это неверно и что действительно существуют различные виды математической интуиции даже и за пределами тех немногих примеров, которые я назвал.
«Топологическая» интуиция обычно считается частным случаем общегеометрической; однако этот частный случай обнаруживает сам по себе такое богатство и разнообразие различных возможностей и, с другой стороны, так сильно отличается от других видов геометрической интуиции, что, вероятно, заслуживает выделения в особую категорию. Интуиция тополога не связана с прямыми линиями, с перспективными преобразованиями и другими образами, столь фундаментальными, например, для проективного геометра. Топологическая интуиция — это интуиция формы и расположения фигур в чистом виде, чистая «Freude an der Gestalt», как говорил Клейн. Это — наиболее геометрическая среда всех разновидностей геометрической интуиции.
Пуанкаре владел ею как никто из математиков его времени и предшествующих эпох; может быть, только Риман мог соперничать с ним в этом отношении, но он не успел развить её с такой широтой и разнообразием применений, как Пуанкаре.
Топологическая интуиция пронизывает большинство самых замечательных работ Пуанкаре — теорию автоморфных функций и униформизацию (это высшее торжество «римановского» подхода в теории функций комплексного переменного); качественную теорию дифференциальных уравнений — являющуюся, может быть, лучшей иллюстрацией того, как совершенно по-новому умел видеть Пуанкаре самые классические объекты математики и какой небывалой проблематике он умел их подчинить. И, наконец, конечно — весь цикл его собственно топологических работ.
Ничем иным как именно проявлением гениальной топологической интуиции был тот факт, что основной стержень для всего дальнейшего развития топологии Пуанкаре увидел в понятии гомологии. При этом первая формулировка этого понятия (в основном мемуаре 1895 г. «Analysis Situs») апеллировала именно к непосредственной геометрической наглядности, под которую лишь несколько лет спустя была подведена строгая логическая база.
Столь же интуитивным, хотя совершенно строго сформулированным, было второе основное топологическое понятие, введённое Пуанкаре — понятие фундаментальной группы. Введя это понятие, Пуанкаре оказывается зачинателем всего огромного направления гомотопической топологии, дальнейшим развитием которого мы обязаны прежде всего Брауэру, затем Хопфу (H. Hopf), Гуревичу и длинному ряду последующих математиков. Здесь следует заметить, что определение гомотопических групп, т.е. групп, обобщающих понятие фундаментальной группы на любое число измерений, было впервые дано в 1932 г. знаменитым чешским топологом Э. Чехом, который, правда, не подверг их дальнейшему исследованию; это последнее, как известно, составляет заслугу В. Гуревича.
К наиболее замечательным и наиболее рано разработанным частям гомотопической топологии относится теория векторных (и поливекторных) полей и их особенностей, тесно связанная с теорией неподвижных точек непрерывных отображений. Основателем этой теории опять-таки является Пуанкаре: первые относящиеся к ней определения и факты, в частности, фундаментальное понятие индекса особенности векторного поля, он установил ещё в восьмидесятых годах, в своих работах по качественной теории дифференциальных уравнений, т.е. ещё до создания своих собственно топологических работ.
В настоящее время трудно переоценить фундаментальное значение этих идей и результатов Пуанкаре для всего дальнейшего развития не только теории дифференциальных уравнений, но и всего современного математического анализа.
В частности, что касается специально теорем о существовании неподвижных точек при тех или иных непрерывных отображениях, то Пуанкаре уже понимал значение этих теорем как средства доказательства теорем существования в анализе. Это видно хотя бы по тем огромным усилиям, которые он затратил на доказательство своей «последней геометрической теоремы» — о существовании неподвижной точки для определённого класса непрерывных отображений плоского кругового кольца на себя. Эта последняя работа Пуанкаре производит на читателя, я бы сказал, трагическое впечатление. В кратком введении к ней автор пишет, что никогда не публиковал столь несовершенного произведения — в самом деле, ему не удалось найти доказательство основного результата (последней геометрической теоремы Пуанкаре), которому работа посвящена. Тем не менее, Пуанкаре считал возможным и необходимым опубликование полученных им частных результатов — ввиду важности предмета, а также ввиду того, что, как он говорил, в своём возрасте он уже не надеется получить полное решение вопроса. В действительности Пуанкаре в это время было лишь 57 лет, и дело было, конечно, не в возрасте, а в уже начавшейся тяжёлой болезни (в те времена почти недоступной хирургическому вмешательству), от которой он и умер год спустя.