Комментарий, характерный для математизированной теории музыки, был дан Гаудентиусом, видимо, в III или IV веке. Его внимание привлекло число Пифагора и установление связи между высотой звука и длиной вибрирующей струны. Поэтому он натянул струну монохорда над разделенной на 12 единиц линией, каноном, и исследовал, в каком отношении стоит тон, возникающий как следствие вибрации всей струны, к тем тонам, которые получены из вибрации канонически установленных отрезков струны. Обнаружилось, что три звуковых интервала обладают созвучным (консонантным) характером, поскольку два следующие друг за другом звука гармонируют по высоте друг с другом (основной тон и октава: 12/6 = 2/1 основной тон и квинта: 12/8 = 3/2; основной тон и кварта: 12/9 = 4/3). За недоступными, мимолетными чувственными явлениями, рационально освещенными, раскрылись таким путем количественно-пропорциональные отношения. Точное измерение звука стало возможным благодаря определению длины струны.
Наглядное описание Гаудентиуса в отдельных моментах нуждается все же в дальнейшем разъяснении. Спорно уже то, что может быть принято за критерий симфонического характера звучания. Почему только октава, квинта и кварта определены Пифагором как гармоничные? Почему большая терция и секста расценивались как приемлемые только в случае необходимости, секунда же, напротив, с самого начала считалась неприемлемым диафоническим диссонансом? В античности были известны оба возможных варианта решения проблемы. При различении симфонического и диафонического интервалов определяющим фактором являются либо слуховое восприятие, либо рациональное осмысление. Этому различению соответствуют два главных направления в античной теории музыки. Сторонники гармонического направления выносили свое решение о гармоническом звучании интервала, опираясь на услаждаемый музыкой слух, поддержанный памятью разума, и тренированное слуховое восприятие. Каноники, напротив, отталкиваясь от главных пифагорейских предпосылок и возможности арифметического исчисления звукового интервала, считали математическую природу пропорции, выражающейся в соотнесенности друг с другом звуков, единственным аутентичным свидетельством; соответственно этому считался симфоничным тот звуковой интервал, который может быть выражен через простейшую пропорцию струны — в математической формуле: пропорцией n+1/n = logos epimorius 14 (октава с пропорциями струны 2:1, квинта — 3:2, кварта — 4:3). Сообщения Гаудентиуса, очевидно, близки этой канонической интерпретации.
В ходе анализа канонической концепции мы наталкиваемся прежде всего на вопрос, оставленный в дальнейшем открытым. Как мог экспериментирующий на монохорде Пифагор с самого начала прийти к мысли о том, чтобы установить градации своего инструмента в 12 частей? Арпад Сабо, изучив исторические проблемы греческого учения о пропорциях, справедливо подчеркивает, что описание Гаудентиуса в этом моменте неисторично; он ориентируется не на фактический ход экспериментов, а сообщает лишь конечный результат 15. И названная гипотеза Арпада Сабо, обвиняющая в подновлении теории первоначального членения на 12 частей, убедительна. В соответствии с ней эксперименты должны были проводиться сперва не на монохорде, а на каком-то многострунном инструменте. По всей видимости, вначале непосредственно был воспринят тот факт, что различные по длине струны издают различные по высоте звуки. Это могло послужить исходным пунктом для сравнительного обмера струн, которые издают симфонически воспринимаемые звуки, После того как была обнаружена упомянутая основополагающая пропорция на двух или более струнах, был сделан переход к одной, разделенной на двенадцать отрезков струне, так как наименьшая совокупная многократность встречающегося числового единства уже известной пропорции есть число 12.
Гипотеза Арпада Сабо получает свое подтверждение и через исторические даты философии, эстетики и данные зарождения музыкальных инструментов. Мы должны прежде всего сослаться на вновь всесторонне подтвержденный факт, что известный демонстрационный инструмент музыкальной математики, монохорд, в эпоху Пифагора вообще не употреблялся как музыкальный инструмент. Впервые он был введен в обиход в эллинистический период, согласно доказательным свидетельствам Ван дер Вердена 16, где-то после 300 года до н. э., и притом исключительно в качестве наглядного пособия, которое не соприкасалось с музыкальной практикой (согласно Птолемею, канон — вспомогательное средство для постановки рационально точного слуха) 17. Последнее обстоятельство является фактическим опровержением сообщения Гаудентиуса.
Что же касается эксперимента со струной, то прежде всего достоин внимания тот факт, что каноники разделяли ее внутри определенных границ, хотя покоящееся на чисто математических принципах разделение канона — если выйти за пределы членения на 12 равных частей — в принципе могло бы проводиться до бесконечности. Исходя из этого представляется чрезвычайно важным научно-теоретическим свидетельством тот факт, что греческому мышлению задолго до Аристотеля была уже известна наряду с гипотезой Левкиппа — Демокрита о существовании в действительности неделимой частицы (а-тома) математическая проблема приближающегося к бесконечности деления; одна из знаменитых апорий Зенона выдвигает аргументы против возможности действительного прохождения пути между двумя пунктами, а следовательно, в пользу логической противоречивости движения при наличии математической возможности бесконечного деления на две части. И критиковавший зеноновские парадоксы Аристотель не отбрасывает принцип бесконечной делимости пространства; он указывает на то, что бесконечность сама по себе может быть потенциальной и актуальной и что действительное пространство может быть охарактеризовано через единство непрерывности и прерывности. Уточненная Аристотелем зеноновская постановка вопроса является также проблемой и для определения пропорции звуков по высоте. Аристид Квинтилиан схватил самую суть этой проблемы, сознательно превращая единство прерывности и непрерывности в субстрат расчлененной по высоте системы звуков: «Далее, так как материя таит в себе тысячекратные... возможности того, быть ли ей связанной, непрерывной или расчлененной, несовместимой, точно так же и музыка обнаруживает в этом отношении противоречивость материала. Дело в том, что ее материал, который в равной мере представляется движением звучания, проявляется, с одной стороны, связанным, с другой стороны, прерывным, интервальным Итак, как сила провидения раздробляет на формы материи мировые части чересчур связанного и соединяет, объединяет в подобающих отношениях обособленное, так и музыка пренебрегает как несущественным слишком тесно сливающимся друг с другом чередованием голоса, а с другой стороны отбрасывает слишком большие интервальные членения как беспредельные и лежащие вне опыта и устанавливает в хорошо измеренном умеренном промежутке мелодическое пение» 18.
Аристид Квинтилиан является характерным представителем позднеантичного понимания музыки, также содержащего мистически-неоплатонические и пифагорейские элементы. Прежде всего его образ мыслей поучителен тем, что он невольно приводит доказательства врожденной противоречивости канонического исходного пункта. В «Государстве» Платон высказывает свое уничтожающее мнение по поводу определения малейших интервалов посредством слуха: «...у них это выходит забавно: что-то они называют «уплотнением» и настораживают уши, словно ловят звуки голоса из соседнего дома; одни говорят, что различают какой-то звук посреди, между двумя звуками и что как раз тут находится наименьший промежуток, который надо взять за основу для измерений; другие спорят с ними, уверяя, что здесь нет разницы в звуках, но и те и другие ценят уши выше ума» 19. Сам Аристид разделял это же мнение. Однако там, где необходимо было установить масштаб прерывности звукового ряда, он поневоле приближается к исходному пункту, который подчеркивает касательно гармонии сопоставляющую деятельность слуха, то есть музыкального опыта и самой практики. Таким образом, чувственное познание, эстетическое восприятие пробивается через преграды чисто рациональной арифметической спекуляции по поводу градации звукового интервала и расположения звуков в их последовательности. Наконец, мы должны обратить внимание и на то, что каноническое решение проблемы созвучия наталкивается на имманентную теоретическую трудность. В обширной античной литературе по этой проблематике нас интересует один-единственный вопрос. Имеется в виду тот факт, что logos epimorius n+1/n сам по себе не может быть — также и арифметически — критерием двух звуков гармонического характера, так как чисто математическое направление на основании данной формулы могло бы образовать дальнейшие созвучия вплоть до бесконечности. В «Тимее» Платон находит из этой теоретической трудности чисто мистический выход, объясняя, что лишь числовые отношения «абсолютно идеальных» чисел (1, 2, 3, 4) могут превращаться в основу консонантного интервала.
Благодаря тем экспериментам, о которых сообщают иные авторы (в том числе и Аристид Квинтилиан), мы получаем точное представление о происхождении и подлинно научном значении пифагорейских открытий. Они основывались на использовании не монохорда, а частично на применении многострунного инструмента (к примеру, описанного Аристидом геликона), частично же на различных натяжениях струны путем разновеликого подвешивания. Осуществленный на одной-единственной струне анализ пропорции означал, согласно этому пересказу, более детальную, чисто завершающую стадию эксперимента. Как символ вышесказанного можно рассматривать тот факт, что, согласно Аристиду, умирающий Пифагор настоятельно рекомендовал своим ученикам играть на монохорде. Последняя воля легендарного мастера была обоснована именно характерным каноническим высказыванием: «Этим он будто бы хотел сделать очевидным то, что вершина совершенства в музыке достижима скорее чисто духовно, посредством чисел, нежели чувственно, через слух»20. И все-таки так называемая «чисто духовная» музыка монохорда предшествовала, согласно Аристиду, практике воспринимаемого сравнения звуков по высоте. Этот вариант изложения решительным образом был поддержан Боэцием. Пифагор, по Боэцию, впервые в кузнице обратил внимание на созвучие (гармонию) звуков, вызываемых ударами различных по весу молотов.