Звук: физика, химия, биология (стр. 2 из 5)
В музыке принято говорить не о частоте звука, а о его высоте, которая является логарифмом частоты колебаний.
На биологическом уровне можно поделить уже введенные интервалы на консонансы и диссонансы. Консонансом называется слитное, согласное звучание двух тонов. В противовес этому диссонанс – это звучание тонов, «не сливающихся» друг с другом, неблагозвучный интервал.
Наименование Интервальный Степень
интервала коэффициент консонансности
Прима 1/1 вполне совершенный
Октава 2/1 вполне совершенный
Квинта 3/2 совершенный
Кварта 4/3 совершенный
Большая секста 5/3 несовершенный
Большая терция 5/4 несовершенный
Малая терция 6/5 несовершенный
Малая секста 8/5 несовершенный
Консонанс выражается математически простыми численными соотношениями звучащих частот, а физически – лучшим совпадением обертонов обоих звуков. В этом смысле, однако, различие между консонансом и диссонансом лишь качественное. А человеческое восприятие делит интервалы на «хорошие» и «плохие».
2. Физические основы звука:
Звук есть воспринимаемые человеческим слухом колебания воздуха. Музыкальные звуки порождаются музыкальными инструментами (в этом смысле человеческий голос тоже условно причисляется к музыкальным инструментам). Традиционной моделью для изучения музыкальных звуков является колеблющаяся струна. Струны лежат в основе большого числа инструментов (не только струнных, но и, например, клавишных). Рассмотрим колеблющуюся струну, чтобы узнать, что же за колебания воздуха она порождает.
Колебания струны изучали ещё пифагорейцы. Они использовали для этого несложный прибор под названием монохорд, представляющий из себя единственную струну, закрепленную в двух точках над резонатором.
Значительно позже, в XVIII веке, после работ Ньютона и Лейбница в области физики и дифференциального исчисления, было выведено уравнение колебания струны - так называемое волновое уравнение (породившее новую область в науке - математическую физику):
Здесь t - время; x - координаты некой точки на струне в момент времени t;
u=f(x,t) - функция отклонения точки x в момент времени t от положения равновесия;
- коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны; T - сила натяжения струны; 
- плотность однородной струны. Предполагается, что струна совершает малые колебания в одной плоскости.Волновое уравнение есть не что иное, как следствие второго закона Ньютона. Левая часть - ускорение струны в точке x, а правая часть - отнесенная к массе струны сила, вызывающая это ускорение, которая тем больше, чем больше вогнутость струны
Рассмотрим подробнее уравнение колебаний струны.
2.1 Уравнение малых поперечных колебаний струны.
Каждую точку струны lможно охарактеризовать значение её абсциссы x. Описание процесса колебания струны может быть проведено при помощи задания положения точек струны в момент времени t достаточно задать компоненты вектора смещения {u1 (x,t), u2(x,t), u 3(x,t)} точки x в момент t.
Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости (x,u) и что вектор смещения u перпендикулярен в любой момент к оси x; тогда процесс колебания можно описать одной функцией u(x,t), характеризующей вертикальное перемещение струны. Будем рассматривать струну как гибкую упругую нить. Математической выражение понятия гибкости заключается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю (рис. 1). Это условие выражает собой то, что струне не сопротивляется изгибу.
Величина натяжения, возникающего в струне вследствие упругости, может быть вычислена по закону Гука. Будем рассматривать малые колебания струны и пренебрегать квадратом ux по сравнению с единицей.
Пользуясь этим условием, подсчитаем удлинение, испытываемое участком струны (x1 ,x2). Длина дуги этого участка равна
Таким образом, в пределах принятой нами точности удлинения участков струны в процессе колебания не происходит; отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения Tв каждой точке не меняется со временем. Покажем также, что натяжение не зависит и от x, т. е.
Найдем проекции натяжения на оси xи u (обозначим их Txи Tu):
где α – угол касательной к кривой u(x,t) с осью x. На участок (x1, x2) действуют силы натяжения, внешние силы и силы инерции. Сумма проекции всех сил на ось x должна быть равна нулю (мы рассматриваем только поперечные колебания). Так как силы инерции и внешние силы по предположению направлены вдоль оси u, то
(1)Отсюда в силу произвольности x1иx2 следует, что натяжение не зависит от x, т. е. для всех значений x и t
(2)Перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний струны. Воспользуемся вторым законом Ньютона. Составляющая количества движения участка струны (x1, x2) по оси u равна
где ρ – линейная плотность струны. Приравняем изменение количества движения за промежуток времени ∆t = t2 - t1
импульсу действующих сил, складывающихся из натяжения
в точках x1 и x2 и внешней силы, которую будем считать непрерывно распределенной с плотностью (нагрузкой) F(x, t), рассчитанной на единицу длины. В результате получим уравнение поперечных колебаний элемента струны в интегральной форме
(3)Для перехода к дифференциальному уравнению предположим существование и непрерывность вторых производных от u(x, t). Тогда фотмула (3) после двукратного применения теоремы о среднем примет вид
где
Сократим на ∆x∆t и переходя к пределу при x2→x1, t2→t1, получим дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны
(4)В случае постоянной плотности ρ = const этому уравнению обычно придают вид
(5)где
(6)есть плотность силы, отнесенная к единице массы. При отсутствии внешней силы получим однородное уравнение
или
описывающее свободные колебания струны. Это уравнение является простейшим примером уравнения гиперболического типа.
Если в точке x0(x1<x0<x2) приложена сосредоточенная сила f0(t) (рис. 2), то уравнение (3) запишется так:
Поскольку скорости точек струны ограничены, то при x1→x0и x2→x0интегралы в левой части этого равенства стремятся к нулю, и равенство (3) принимает вид
(7)Пользуясь теоремой о среднем, сокращая обе части равенства на ∆t и переходя к пределу при t2→t1 получим:
Отсюда видно, что в точке приложения сосредоточенной силы первые производные претерпевают разрыв и дифференциальное уравнение теряет смысл. В этой точке должны выполняться два условия сопряжения
(8)второе из которых выражает непрерывность струны, второе определяет величину излома струны в точке x0, зависящую от f0(t) и натяжения T0.
Теперь рассмотрим задачу о поперечных колебаниях струны, закрепленной на концах. В этой задаче u(x, t) дает отклонение струны от оси x. Если концы струны 0 ≤ x ≤ lзакреплены, то должны выполняться «граничные условия»