Еще одна страничка истории математики, в интересующем нас аспекте, - это деятельность Юзефа Гоэнэ-Вронского (J.M.Hoёne-Wroсski, 1776-1853). Она, наряду с размышлениями Декарта, Вейгеля, Лейбница, Новалиса и многих других, оказывается важным “узелком” в истории весьма значимой для развития математики Нового времени идеи Mathesis Universalis. Как и Новалис, Вронский опирался в своих рассуждениях на философию математики Канта. Судьба математических работ польского математика-философа в XIX веке весьма напоминала судьбу наследия Вейгеля, а отношение к идеям Вронского со стороны общепризнаной математики В.В.Бобынин описывал так: “В продолжении всей его жизни официальная наука с настойчивостью, достойной лучшей участи, постоянно отказывала ему в признании научного значения его трудов по философии математики, хотя, строго говоря, в последователях его учения и не было недостатка” [6, с.10]. В процитированной работе 1886 года Бобынин называет Вронского “самым выдающимся, даже можно сказать, пока единственным, представителем философии математики - науки, только еще создающейся, но имеющей в будущем подчинить себе все дальнейшее развитие наук математических” [6, с.1]. Пророчество Бобынина о будущем значении работ Вронского пока не оправдалось. Правда, в XX веке философско-математическим сочинениям Вронского посчастливилось более: в 1925 г. они были переизданы, а в 1939 о “loi supreme” Вронского появилась статья такого крупного математика как Стефан Банах. Впрочем, как в прошлом веке, так и в нынешнем слишком подозрительной продолжает выглядеть для большинства математически образованных людей тесная связь математических рассуждений Вронского с “мессианизмом”, “абсолютной философией” и т.п. [40].
Убежденность в единственности привычного и общепринятого взгляда на то, что такое “настоящая математика”, не дает даже подойти к изучению философско-математических работ Новалиса, Вейгеля, Вронского, или Карла Эккартсхаузена (K. von Eckartshausen, 1752-1803). Эти работы написаны с точки зрения другого понимания математики и требуют для своего изучения умения посмотреть на них под тем углом зрения, под которым рассматривали их авторы, умение признать за этим углом зрения хотя бы минимальную, “стартовую”, ценность. На мой взгляд, здесь открывается обширное поле для исследований. Мои собственные первые робкие шаги в этом направлении и представлены в изложенных выше рассуждениях о математической мифологии и пангеометризме.
Примечания.
1. “Чувственное созерцание может быть сравнено с линией, а умственное - с кругом” [23, с.61]. Предлагаемая Плотином аналогия восходит к “Тимею” Платона.
2. Заслуживает всяческого внимания, что как приверженцы, так и противники математики в философии (философской математики, математизированной философии) находят главные свои аргументы у Платона, т.е., защищая диаметрально противоположные позиции, они развивают мысли происходящие из общего источника (Платон и неоплатоники). Как правило, такая странность связана с пониманием критики Платоном неправильного отношения к математике как решающего аргумента против математики вообще, а противоположности математического и диалектического методов как несовместимости математики и философии вообще (Кант, Гегель, В.Гамильтон). И в первом и во втором случае полностью игнорируется возможность и действенность математической диалектики.
3. Близкий образ встречается у Плотина: Единый (Единое) “созерцается во множестве существ, в большей или меньшей степени способных воспринять и отображать его в себе, но который отличен и обособлен от всех их, подобно тому, как один центр в круге остается один сам по себе, между тем как множество радиусов со всех точек периферии к нему сходятся” [23, с.66; курсив мой].
4. Аналогия, используемая Лейбницем в этом довольно мутном отрывке, может быть разъяснена следующим образом: как отрезки могут быть между собой либо соизмеримыми, либо - нет, причем, в первом случае, процедура нахождения общей меры, - показывающая, что один из отрезков составлен из тех же частей, что и другой, - может быть осуществлена за конечное число шагов, а во втором - уходит в бесконечность, так и истины могут быть либо необходимыми, либо случайными, причем, в первом случае, за конечное число шагов может быть показано, что предикат состоит из тех же частей, которые имеются в субъекте, а во втором - процедура анализа уходит в бесконечность.
5. П.А.Флоренский не ограничивался работой с математическими конструкциями как парадигмальными схемами. Он один из немногих, кто осознанно стремился к возрождению математического мифа в его полноте. Вслед за ним в этом направлении шел и А.Ф.Лосев.
6. Пространство и время определяются Кантом как обязательный компонент всякого созерцания: отбрасывая в созерцании все, что может быть отброшено, мы в конечном итоге получаем пространство и время в чистом виде. См. [11, т.3, с.64, т.4, с.38]. По существу, априорное созерцание (пространство и время) оказывается у Канта тем самым, что не может быть отброшено ни из какого созерцания, и обнаруживается нами в ходе мысленного эксперимента, состоящего в отбрасывании всего, что отбросить возможно.
7. Кстати сказать, эта, рецептивная, сторона геометрической мысли осталась не достаточно отмеченной Кантом. Чистое созерцание Канта, заменившее геометрическую материю платоников, не есть уже некая среда со своими собственными потенциями, которые и раскрываются в геометрических рассуждениях. В математике “понятие о предмете дается дефиницией первоначально”, “математические дефиниции создают само понятие”, а предмет рассмотрения математика “не может содержать в себе ни больше, ни меньше, чем понятие” [11, т.3, с.538-539]. Нет дефиниции, - нет понятия о предмете, а тем самым и самого предмета (содержащего в себе ровно столько, сколько понятие). Здесь как бы нет предмета, свойства которого стремится уловить дефиниция, ведь эта последняя “ниоткуда не выводится”. Желая во всем противопоставить математику и философию, Кант доходит в своих рассуждениях почти до абсурда: утратив отличный от нее предмет рассмотрения математическая дефиниция (понятие) становится чистым произволом. Вряд ли Кант действительно придерживался такой точки зрения, (чистый произвол не может служить источником синтеза), однако в пылу полемики он оказывается в опасной близости от этой грани.
8. Конечно, можно вспомнить Я.Штейнера, никогда не пользовавшегося на своих лекциях никакими рисунками, или Дистервега, даже специально затемнявшего помещение во время семинарских занятий по геометрии [13, с.146], однако, это скорее исторические казусы, чем закономерность. Нетрудно догадаться, что способность слушателей следить за рассуждениями этих геометров предполагала уже определенный опыт геометрического мышления использующего эмпирические пособия.
9. Хотелось бы обратить особое внимание на близость развиваемых в настоящем докладе идей с взглядами американского психолога, специалиста в области психологии искусства, Рудольфа Арнхейма, изложенными в его книге “Visual Thinking” (1969) [39]. Арнхейм как раз подходит к математике sub specie artis и (в силу этого) обращает внимание преимущественно на те же культурные феномены, которые оказались и в центре моего внимания. Попытка прояснить сложившиеся у меня в ходе получения математического образования и опыта преподавания математики представления о математическом мышлении (да и мышлении вообще) привели меня к взглядам, оказавшимся в самом близком родстве с представлениями Макса Вертхеймера о творческом мышлении (productive thinking) [8] и, в особенности, с идеями Арнхейма, также явно примыкающими к гештальт-психологии. “Продуктивное мышление - говорит Арнхейм - по необходимости основано на перцептуальных образах и, наоборот, активное восприятие включает в себя отдельные аспекты мышления” [3, с.165]. “Только то, что, по крайней мере, в принципе доступно наглядному воображению, может поддаваться и человеческому пониманию” [2, с.78-79]. Имеется “близкое родство перцептуального опыта и теоретического рассуждения”, поэтому “между искусствами и науками нет большой разницы; также нет пропасти и между использованием картин и употреблением слов” [3, с.167]. Самое прямое отношение к нашей теме имеют взгляды Арнхейма на природу абстракции, на различение статических и динамических понятий, на противопоставление фигуры и фона, как основу простейших систем образов (в частности, образов математических) и т.д. Понятие же “хорошего гештальта” (Вертхеймер) дает ключ к пониманию того, что такое математическая красота. Впрочем, использование наработок гештальт-психологов в области психологии мышления для целей философии математики требует отдельного обсуждения.