Построение и исследование динамической модели портального манипулятора (стр. 4 из 13)
Подставляя (2.14) , (2.11) и (2.10) в (2.8) получим:
 | (2.15) |
Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m через их составляющие:
 . | (2.16) |
Поскольку в манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу, и так как в конечном итоге необходимо определить положение массы m, координаты которой выражаются как
, то для этого достаточно сложить уравнения в выражении (2.15):  | (2.17) |
или:
 , | (2.18) |
где С- суммарная жесткость звеньев манипулятора.
Анализ показывает, что величина C является переменной и зависит от плеча приложения l сосредоточенной массы m.
Преобразуя (2.18), получаем уравнение описывающие переходный процесс в системе:
 . | (2.19) |
Уравнение (2.19) легко решается классическим способом при следующих начальных условиях:
  , | (2.20) |
где
- скорость рабочего органа манипулятора в момент выхода на конечную точку.Выражение (2.19) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Будем искать частное решение уравнения в виде:
 , | (2.21) |
где
и 
- произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий: при t = 0; 
и 
- корни характеристического уравнения:  . | (2.22) |
Решение уравнения (2.22) будет иметь вид:
 | (2.23) |
Определим произвольные постоянные
и 
, решая систему уравнений:  . | (2.24) |
Решение системы (2.24) будет иметь вид:
 , | (2.25) |
если учесть (2.20) то:
 | (2.26) |
подставляя (2.26) в (2.21) и с учетом (2.23) имеем:
 | (2.27) |
где
- реальная часть; 
- мнимая часть.Тогда разделяя реальную и мнимую части в (2.27) получим:
 . | (2.28) |
Учитывая что:
 , | (2.29) |
имеем:
 | (2.30) |
Преобразуя (2.30) получим решение уравнения (2.19):
 | (2.31) |
Прологарифмируем выражение (2.31) предварительно подставив в него значение допустимой погрешности позиционирования:
 , | (2.32) |
где
- допустимая погрешность позиционирования.Преобразуя (2.32) получим выражение для определения времени переходного процесса:
 | (2.33) |
Для расчета жесткости C и коэффициента демпфирования
в модели используются экспериментально полученные зависимости. В частности коэффициент демпфирования определяется по осциллограмме затухания колебаний рабочего органа.Таким образом, время переходного процесса, для данного типа манипулятора при заданной массе положении рабочего органа определяется по выражению (2.33), в котором коэффициенты жесткости и демпфирования предварительно определены экспериментально.
2.2 Анализ переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П
Источниками возникновения переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П являются: зубчатая ременная передача линейного модуля манипулятора и его свободная консоль.
На этапе зондирующих экспериментов исследовались парные зависимости коэффициента демпфирования от натяжения зубчатого ремня и смещения рабочего органа вдоль консоли. Результаты анализа полученных осциллограмм сведены в таблицы 2.1 и 2.2.
Анализ результатов показывает, что натяжение зубчатого ремня существенным образом влияет на коэффициенты демпфирования модуля линейного перемещения: так при увеличении начального натяжения ремня от минимального значения h = 0,03778 до максимального h = 0,00667 (в исследуемых приделах) коэффициент демпфирования уменьшается в 3 раза. Таким образом, можно сделать вывод о том, что демпфирование линейного модуля с зубчатой ременной передачей может задаваться и варьироваться в широких пределах, как на этапе конструирования, так и в процессе его эксплуатации.
| Табл. 2.1 | |||||
| Результаты анализа осциллограмм собственных колебаний рабочего органа манипулятора МРЛ-901П на консоли | |||||
| Величина смещения рабочего органа вдоль консоли ly, мм | Период колебаний рабочего органа T, с. | Частота колебаний w, с-1 | Логарифмический декремент затухания n | Коэффициент демпфирования b,кг/c | Время затухания колебаний tп.п., с. |
| 0 | 0,057 | 17,54 | 0,956 | 369 | 0,6 |
| 175 | 0,067 | 15 | 0,693 | 227,55 | 0,9 |
| 350 | 0,08 | 12,5 | 0,446 | 122,65 | 1,2 |
Анализ результатов исследований показывает, что смещение рабочего органа манипулятора МРЛ-901П вдоль свободной консоли, также как и
| Табл. 2.2 | ||||||||||
| Результаты исследований демпфирующих свойств модуля линейного перемещения с ременной передачей | ||||||||||
| Номер опыта | Номер параллельного опыта | Случайный порядок проведения | Степень начального натяжения | Период колебаний Т, с. | Логарифмический декремент затухания n | Коэффициент демпфирования b,кг/c | Среднее время затухания | |||
| опытов | ремня h | парал-лельные опыты | среднее | парал-лельные опыты | среднее | парал-лельные опыты | среднее | колебаний tп.п., с | ||
| 1 | 3 | 0,1 | 1,15 | 460,15 | ||||||
| 2 | 1 | 0,102 | 1,23 | 482,35 | ||||||
| 1 | 3 | 12 | 0,03778 | 0,113 | 0,105 | 1,383 | 1,253 | 489,72 | 477,33 | 0,4 |
| 4 | 7 | 0,108 | 1,258 | 465,91 | ||||||
| 5 | 11 | 0,102 | 1,244 | 488,52 | ||||||
| 1 | 4 | 0,125 | 0,85 | 272,12 | ||||||
| 2 | 15 | 0,128 | 0,815 | 254,68 | ||||||
| 2 | 3 | 10 | 0,02 | 0,117 | 0,12 | 0,756 | 0,8 | 258,3 | 266,67 | 0,45 |
| 4 | 9 | 0,115 | 0,79 | 275,08 | ||||||
| 5 | 14 | 0,115 | 0,789 | 273,17 | ||||||
| 1 | 6 | 0,12 | 0,486 | 162,11 | ||||||
| 2 | 5 | 0,12 | 0,493 | 164,25 | ||||||
| 3 | 3 | 3 | 0,0067 | 0,132 | 0,128 | 0,496 | 0,504 | 150,32 | 157,47 | 0,6 |
| 4 | 8 | 0,14 | 0,544 | 155,43 | ||||||
| 5 | 2 | 0,128 | 0,5 | 155,24 | ||||||
увеличение начального натяжения ремня, вызывает уменьшение коэффициентов демпфирования, что существенно (в 2…3 раза) увеличивает время полного затухания собственных колебаний рабочего органа (см. табл. 2.1 и 2.2), и, как следствие снижает реальную производительность.