получающемуся из общего уравнения Буссинеска (47) для данных геометрических условий задачи, а также граничному условию (61), начальному условию и условию на бесконечности:
h(x, t0) = h(¥, t) = 0. (63)
Напор в некоторой точке пласта h зависит от следующих аргументов: координаты
х, времени, прошедшего от начало процесса t - t
0 (в силу однородности уравнения (62) по времени напор будет зависеть только от разности t - t
0, а не от значений t и t
0 в отдельности), коэффициентов a и s и константы a. Вводя для удобства независимую размерность напора (это возможно, так как для рассматриваемой задачи несущественно, что размерности длины и напора одинаковы), получим размерности этих аргументов в следующем виде:
[a] = [h]-1 L2 T-1; [t - t0] = T; [x] = L; [s] = [h] T-a, (64)
где через [h], L и Т обозначены соответственно размерности напора, длины и времени; константа a безразмерна. Из аргументов, от которых зависит напор жидкости, можно составить только две независимые безразмерные комбинации:
(65)
В силу p- теоремы анализа размерностей выражение для напора можно представить в виде произведения комбинации определяющих параметров, имеющей размерность напора (в качестве нее можно взять s (t - t0)a ), на безразмерную функцию от безразмерных комбинаций (65). Имеем таким образом
h = s(t - t0)af(x, l); l = a/(1+a), (66)
где f - безразмерная функция, а параметр l введен вместо параметра a для удобства последующего изложения. Очевидно, что l лежит в интервале -1 <l<1. Имеем, далее, в силу (66)
Подставляя эти соотношения в уравнение (62) и упрощая, получаем для функции f обыкновенное дифференциальное уравнение:
(67)
После подстановки выражения (66) в граничное условие (61) и условие (63) получаем для функции f (x, l) краевые условия:
f(0, l) = 1; (68)
f(¥, l) = 0. (69)
Напор и объемный поток (расход) грунтовых вод должны быть непрерывными функциями x и t. Используя закон Дарси, имеем для расхода, приходящего на единицу ширины пласта, выражение
(70)
Таким образом, из требования непрерывности расхода следует непрерывность функции df2/dx.
При непрерывной функции f(x) и f ¹ 0 требование непрерывности функции df2/dx = 2fdf/dx совпадает с требованием непрерывности производной df/dx. Однако при f = 0 из непрерывности df2/dx непрерывность df/dx не вытекает. Напротив, как увидим далее, искомая функция f(x, l) имеет в точке, где f обращается в нуль, разрыв первой производной.
Условие (69) удобнее привести к другому виду. Умножим обе части основного уравнения (62) на х и проинтегрируем по х от нуля до бесконечности. В результате получим
Очевидно, что dh2/dx стремится к нулю при х®¥, быстрее, чем х-1, в противном случае h не стремилось бы к нулю при х®¥. Используя это обстоятельство и условие на бесконечности (63), получаем
Интегрируя это соотношение в пределах от t = t0 до t и используя граничное условие (61) и представление решения (66), имеем
(напомним, что считаем a удовлетворяющим неравенству -1/2<a< ¥), откуда получаем искомое условие в форме
(71)
В интересующей нас области изменения a и l правая часть (71) конечна и положительна.
3.2. ПОЛОГИЕ БЕЗНАПОРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
С НУЛЕВЫМ НАЧАЛЬНЫМ НАПОРОМ:
ПРЕДЕЛЬНЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ,
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
3.2.1. Предельные автомодельные движения. Рассмотрим теперь для того же полубесконечного пласта несколько иную задачу. Будем исследовать движение на полубесконечном интервале времени (-¥, t), поэтому начальное распределение напора по пласту несущественно.
Предположим, что на больших расстояниях от границы пласта, т.е. при х® ¥, напор жидкости равен нулю; следовательно,
h(¥, t) = 0. (72)
Пусть, далее, напор жидкости на границе пласта возрастет со временем по экспоненциальному закону:
h(0, t) = h0eht. (73)
Напор жидкости внутри пласта h(x, t) по-прежнему удовлетворяет уравнению
(74)
Составим полный список аргументов, от которых зависит это решение. Помимо координаты х и времени t, в этот список войдут также величины h0, == и a. Тогда размерности всех определяющих параметров решения представляются в виде:
[x]=L; [t]=T; [a]=[h]-1L2T-1; [h0]=[h]; [c]=T-1, (75)
где по-прежнему символы L, T и [h] означают соответственно размерности длины, времени и напора. Из пяти аргументов (75) с тремя независимыми размерностями можно составить две независимые комбинации, которые удобно взять в виде:
отсюда на основе p- теоремы решение рассматриваемой задачи будет (76)
где j - безразмерная функция.
Положим теперь t = t¢ + t , где t - произвольная константа. При этом условие (72) и уравнение (74), как нетрудно проверить, записываются через новую переменную t¢, так же как и через прежнюю переменную, а условие (73) принимает вид:
(77) Таким образом, сдвиг во времени влияет лишь на некоторое преобразование величины h0, и постановка задачи оказывается по отношению к группе преобразований переноса по времени; для определения h в переменных х, t¢, a, c, h¢0 получается та же задача, что и для определения h в переменных (75). Стало быть, на основе соотношений (76) и (77) имеем
(78)
Отсюда следует, что при любом t имеет место тождество (79)
Положим теперь t = t и получим
(80) Итак, функция h, зависящая от пяти аргументов (75), представляется через функцию одного аргумента:
(81)
Подставляя (81) в основное уравнение (74), получаем для функции f(x) обыкновенное дифференциальное уравнение
(82)
Подставляя выражение (81) в условие на бесконечности (72) и граничное условие (73), имеем граничные условия для функции f(x):
f(0) = 1; f(¥) = 0. (83)
В силу непрерывности напора жидкости и потока жидкости функция f(x) по-прежнему должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата df2/dx. Мы получили, таким образом, для определения функции f(x) граничную задачу того же типа, что и граничные задачи для автомодельных решений, рассмотренных в предыдущем параграфе, и соответствующую значению параметра a, равному бесконечности, т. е. l = 1. Функция f(x) = f(x, 1) тождественно равна нулю при x ³ x0 = 1,810; передний фронт х0 (t) перемещается, таким образом, по закону
(84)
а скорость его перемещения равна
(85)
Полученное решение является в некотором смысле предельным для автомодельных решений, рассмотренных выше. В самом деле, положим в формуле (66)
s = h0 (at )-a, (86)
где h0 - константа размерности напора; t - константа размерности времени, причем, очевидно, эти константы выбираются с точностью до некоторого постоянного множителя. Решение (66) принимает вид
(87)
Будем неограниченно увеличивать в этом решении a при начальном моменте t0 ® - ¥ по закону
t0 = - at. (88)
Раскрывая неопределенность, получаем, что при a ® ¥
(89)
Уравнение (67) в пределе при a ® ¥ переходит в уравнение (82), а условия (68) и (69) совпадают с условиями (83); f(x, l) ® f(x, 1) = f(x).
Обозначая t через 1/c, получаем, что при a ® ¥ решение (87) стремится к решению (81). Поэтому решение (81) было названо предельным автомодельным решением. Это решение было получено в работе Г. И. Баренблатта. предельные автомодельные решения представляют и принципиальный интерес в том отношении, что для доказательства автомодельности этих решений уже недостаточно соображений анализа размерности, т. е. недостаточно инвариантности постановки задачи относительно группы преобразования подобия величин с независимыми размерностями, как это было в ранее рассмотренных автомодельных задачах, а требуется дополнительно воспользоваться инвариантностью постановки задачи относительно еще одной группы - группы преобразований переноса по времени.
