Туннельные и барьерные эффекты. (стр. 5 из 7)

(4.10)

мы получим из (4.9)

(99.11)

Согласно нашему предположению о виде U (г) уравнение (99.11) разобьется на три;

(99.12) (99.12")(99.12'):

где:

(99.13):

Решения этих уравнений имеют вид

(99.14) (99.14') (99.14")

Из условия конечности ψ в нуле следует, что

(99.15)

Кроме того, условие излучения дает b = 0 (только уходящие волны). Краевые условия на границах r = r ₁ и r=r ₂, как мы установили в § 1,сводятся к равенству функций и их первых производных

(99.16) (99.16’) (99.17) (99.17')

На этот раз мы имеем четыре однородных уравнения для четырех коэффициентов A, α, β, а. Поэтому необходимо, чтобы определитель ∆ системы уравнений (4.16) и (4.17) обращался в нуль. Несложные вычисления дают

(4.18)

где l означает ширину барьера r₂ - r ₁ (4.18) есть трансцендентное уравнение для k. Определим его корни приближенно, считая ql » l. Тогда в нулевом 'приближении можно отбросить член с e^-gl, и мы получаем

(4.19)

Это — точное уравнение для нахождения собственных значений потенциальной ямы (0, r₁, U_m), изображенной на рис. 4.2 и получаемой из потенциального барьера рис. 4.2 при r₂ = ∞. В такой потенциальной яме имеются дискретные уровни энергии (для E<.U_m). Если корни уравнения (4.19) обозначить через k₀₁, k_O2,… k_n,…, то энергия этих уровней будет (согласно (4.13)) равна

(99.20)

Корни действительны, если λ = 0, и по порядку величины равны

. В этом случае мы имеем стационарные состояния. Приконечной ширине барьера асимптотическое поведение потенциальной энергии таково, что U(r)_r→∞ < Е, и вместо дискретного спектра (4.20) мы получаем непрерывный. Однако условие излучения выбирает из непрерывного спектра уровни, близкие к Е_оп, но они не будут теперь стационарными ( λ_п ≠ 0). При малых λ_п они будут почти стационарными. Это — квазистационарные уровни. Определим величину λ_п, считая ее малой. Для этого разложим член с e^qlв (4.18) по степеням ∆k = k — ko, где k₀ — один из корней уравнения (4.19), для стационарных состояний потенциальной ямы, а в член с e^-glподставим k = k₀; замечая, что

получим

Отсюда находим ∆k

При этом малую поправку к действительной части k₀мы также
можем опустить, как не представляющую интереса. Мнимая же
часть будет равна .

' (99.21)

Пренебрегая также малой поправкой к действительной части , kв (4.13), мы можем положить

. Из (4.13) получаем

. (4.22)

Сравнивая это с предыдущим выражением для ∆k, мы находим

(4.23)

Имея в виду, что

есть скорость частицы v₀внутри барьера и что k₀ ≈ 1/r₁ = 1/r₀ (r_oрадиус ямы), мы получаем из (4.23) И (4.13)

(4.24)

Эта формула имеет простое наглядное толкование.

есть числоударов частицы о внутреннюю стенку барьера в 1 сек, а экспоненциальный множитель есть коэффициент прозрачности.

Отметим еще некоторые особенности рассмотренной задачи. Мнимое значение волнового вектора к приводит к тому, что интенсивность излучаемой волны

неограниченно растет по мере удаления от потенциального барьера

.

Рост ψ₁₁₁ вытекает из требования, чтобы имелось только, излучение, и отвечает тому факту, что на больших расстояниях находятся частицы, вылетевшие раньше, еще тогда, когда интенсивность | ψ₁ |² внутри самого барьера была больше. Однако в нашем методе решения мы не учли того обстоятельства, что излучение на самом деле когда-то началось (а не длилось все время от t=∞) и что к моменту начала излучения |ψ₁ |² было конечно. Поэтому наш вывод о том, что ψ₁₁₁ > ∞ при r → ∞, вывод, относящийся к частицам, вылетевшим очень давно, неверен, и само найденное, решение справедливо; лишь для небольших r, именно для

Отметим, что в связи с формулой (4.7) в литературе часто говорят о мнимой энергии. Следует иметь в виду, что такое выражение имеет лишь чисто формальный смысл. Найденное вами состояние

не есть стационарное состояние с определенным значением энергии (стационарные состояния гармонически зависят от времени).

Чтобы определить вероятность найти то или иное значение энергии Е в этом состоянии, нужно разложить ψ (г, t) по собственным функциям ψ_E(r) оператора

. Так как U (r) > 0, то собственные значения этого оператора образуют непрерывный спектр 0 ≤ E < +∞ ; Если положить

(4. 26)

то w (Е) dE'= | С (Е) |²dEдает искомую вероятность. Однакомы не можем воспользоваться для вычисления С (Е) функцией ψ (r, t) (4.25), так как она правильна лишь для не очень больших r. Поэтому мы изберем обходный путь, именно, будем считать, что ψ(г, t) имеет корректное поведение в бесконечности, а начальная функций ψ (г, 0) отлична от нуля заметным образом лишь внутри барьера, так что вид функции ψ (г, 0) соответствует тому факту, что при t = 0 частица находится во внутренней области барьера. Определим амплитуду a (t)-, с которой представлено состояние ψ (r, 0) в состоянии ψ (r, t). Имеем

(4. 27)

Подставляя сюда ψ (r, t) и ψ* (г, 0) из (4.26) и пользуясь ортогональностью функций ψе (r), найдем

(4.28)

Величина Р (t) = | a (t) |² дает, очевидно, закон распада состояния ψ{г, 0). Как видно, форма этого закона определяется распределением энергии ω (Е) dEв начальном состоянии.

Вернемся теперь к нашей задаче. Выберем ψ (г, 0) так, чтобы ψ (г, 0) = ψ (г) внутри барьера и ψ (г, 0) = 0 вне его. Подставляя теперь ψ (г, t) из (4.25) в (4.27), мы можем игнорировать возрастание ψ ₀ (г) вне барьера, так как там ψ (r, 0) = 0. В силу совпадения ψ (r, 0) и ψ (r) внутри барьера и считая, что ψ (г, 0) нормировано к 1, получим

(4.29)

На основании (4.28), теперь нетрудно убедиться, что w {E) dEдолжно быть равно

(4.30)

т. е. мы получаем дисперсионную формулу для распределения энергии. Величину

называют шириной квазистационарного уровня E₀. Если через τ = 1/λ обозначить среднюю продолжительность жизни частицы в состоянии ψ (г, 0) = ψ₀ (г), то мы получаем

(4.31)

— соотношение между шириной квазистационарного уровня и длительностью жизни частицы на этом уровне.