Изучение плоских диэлектрических волноводов для ТЕ поляризации (стр. 3 из 4)

Поскольку левая и правая части выражения зависят от различных переменных, то равенство может соблюдаться только в том случае, когда каждая из частей равенства является константой. Пусть эта константа обозначена

, получим:

, для i-ой среды (всего 3 среды)

Конкретный вид функции Y(y) определяется из этого уравнения с учетом граничных условий и описывает распределение амплитуд фаз в поперечном сечении волноводного слоя и прилегающих сред. Полный же вид решения определяется как произведение Y(y)Z(z) и с учетом временной зависимости

имеет вид .

Таким образом, решение имеет вид гармонической волны, распространяющейся вдоль оси Y и имеющей амплитудное распределение Y(y) в направлении, поперечном по отношению к направлению распространения.

Итак, нужно найти граничные условия, удовлетворяющие уравнениям непрерывности касательных E и H составляющих компонент электромагнитного поля для ТЕ волн имеют вид:

при y=0

при y=-h .

Заметим, что условия непрерывности H-составляющих на границах раздела эквивалентны условиям непрерывности производных от распределения E-составляющих поля на границах раздела слоев 1 и 2, 2 и 3.Пусть в рассматриваемой системе из трех слоев выполняется необходимое условие существования волноводного режима, т.е.

. Физически это означает, что волны, бегущие в слое 2 могут испытывать полное внутреннее отражение от границ со слоями 1 и 3. Для решения уравнений рассмотрим величину . Если величина окажется отрицательной, то решение представляет собой экспоненту с действительным показателем. Если же эта величина – положительна, то решение имеет осциллирующий характер и представляет собой гармоническую функцию или экспоненту с мнимым показателем. Рассмотрим свойства решений:

Условие А.

.

При этом заведомо выполняются условия

и , и из уравнений (15-17) следует, что во всех трех областях. Очевидно, что является экспоненциальной функцией во всех трех областях. Учитывая необходимость непрерывности производной распределения поля на границах раздела между слоями, получим распределение поля, неограниченно возрастающее при удалении от границы между слоями волновода. Следовательно, решение, соответствующее области А, физически неосуществимо.

Условие В.

.

В области 2 решение может быть представлено в виде гармонической функции, поскольку

, при этом распределение поля по координате у в сечении слоя 2 может иметь характер четной или нечетной функции.

В областях решение будет иметь вид экспонент с действительным показателем степени. Очевидно, что физически реализуемый случай соответствует экспонентам, спадающим при удалении от границы 1 в положительном направлении и от границы 3 в отрицательном направлении. Как видно, в этом случае максимальная напряженность поля наблюдается внутри центрального слоя волновода. Напряженность поля спадает при удалении от его границ, при этом основная доля энергии волны переносится в самом слое 2 и близлежащих областях обрамляющих слоев 1 и 3, без излучения в окружающее пространство. Такой режим называется волноводным, а центральный слой 2 часто называют несущим слоем волновода.

Условие С.

и, очевидно, .

Решение имеет экспоненциальный характер в области 1 и гармонический характер в областях 2 и 3. Поле является экспоненциально спадающим при удалении от границы в среде 1. появление осцилляции в среде 3 может быть интерпретировано как результат интерференции двух бегущих плоских электромагнитных волн: одной волны – излучаемой из волновода, другой, равной по амплитуде, набегающей на волновод из бесконечности. Предположение о существовании набегающей волны понадобилось здесь, чтобы сохранить стационарность задачи вдоль оси z, т.е. как бы скомпенсировать потери энергии на излучение , которое появляется при

. Такие моды называют излучательными модами подложки.

Условие D.

.

Решение имеет синусоидальный характер для всех трех областей; имеет место излучение из волновода как в третью, так и в первую обрамляющие среды. Такие моды называют излучательными модами волновода.

Основные результаты анализа. В системе, состоящей из трех диэлектрических слоев с показателями преломления n₁, n₂, n₃ при условии n₂>n₁, n₂>n₃ возможно распространение волноводной волны вдоль слоя 2, при этом распределение электромагнитного поля в поперечном сечении имеет максимальное значение внутри центрального слоя 2 (возможно существование нескольких максимумов) и экспоненциально спадает при удалении от границ слоя 2 в направлении оси ОУ (или -ОУ). Волна с неоднородным распределением по координате у распространяется вдоль плоскости волновода и характеризуется постоянной распространения

, при этом .

Дисперсионные уравнения трехслойного диэлектрического

волновода.

Рассмотрим трехслойный волновод.

Предположим, что он бесконечно протяженный, т.е.

. Продольная составляющая для ТЕ волны. Если подставить эти выводы в соотношения, связывающие продольные и поперечные составляющие полей:

Получим следующие уравнения:

(33)

(34)

(35)

(36)

Отсюда видно, что для ТЕ волны, только компоненты

отличны от нуля. В случае плоского волновода граничные условия таковы:

Найдем решение уравнений в виде:

где A, B, C, D, q, h, p – постоянные, которые нужно определить. Из граничных условий для

получаем соотношения

Кроме того, величина

должна удовлетворять волновому уравнению. Отсюда следует условие

, которое вместе с граничными условиями позволяет получить дополнительную систему уравнений

отсюда следует

, где m – индекс моды. Поскольку тангенс – функция периодическая с периодом π, то при данной толщине волновода будет существовать множество решений (мод) характеристического уравнения. Подставляя в волновое уравнение выражение для E_Y , получим дополнительное соотношение