Исследование процессов испарения и конденсации жидких капель (стр. 4 из 11)
(1.9)Парциальный объем частиц, приходящихся на единичный интервал радиусов, пропорционален, таким образом, r-4. Более поздние исследования показали, что показатель степени при r может быть в общем случае как больше 3, так и меньше 3. Любое распределение, которое может быть линеаризовано в логарифмических координатах, описывается таким обратным степенным распределением:
, (1.10)либо
, (1.11)где B = const. Распределения такого типа используют весьма широко, но ими также часто злоупотребляют. Поэтому обсудим некоторые их достоинства и недостатки.
• Общее число частиц. Для его определения необходимо вычислить
, который расходится при любых a. Если задать нижний предел как rmin (трудности такого шага были обсуждены выше), то получим: 
(1.12)Таким образом, общая концентрация определяется величиной rmin. Для a= 3 рассчитанное общее число частиц возрастает в 8 раз при двукратном уменьшении rmin.
• Средний радиус. Интеграл в этом случае также расходится, поэтому необходимо ввести rmin . Тогда получим:
(1.13)Если a = 3, то средний радиус близок к rmin. Еслиa = 1, то интеграл расходится и средний радиус неопределим.
• Общий объем частиц. Общий объем частиц задается величиной
(1.14)которая не определена при a = 3. Хотелось бы отметить, что именно a = 3 было предсказано на основании постоянства ∆V/∆ln(r). Если взять интеграл от rmin до rmax , то общий объем частиц составит:
. (1.15)Если a > 3, то получим:
. (1.16)А если a < 3, то:
. (1.17)Если rmin много меньше rmax,тогда из уравнения (16) следует, что объем
пропорционален
и весьма слабо зависит от rmin. Если a < 3, то общий объем в основном определяется rmin. Следовательно, если состав систематически меняется с изменением размера, то в зависимости от тангенса угла наклона aсредний состав аэрозоля будет меняться очень сильно.• Общая площадь. В некоторых случаях эта характеристика очень важна. В зависимости от того, a < 2 или a > 2, доминируют большие или меньшие частицы. Коэффициент оптической экстинкции в грубом приближении пропорционален площади поверхности частицы вплоть до rmin ≈ 0.5λ, где λ - длина волны. Состав частиц (из оптических измерений) будет определяться концом интервала радиусов для a≈ 3 (то есть оптическое поведение системы будет определяться размером в десятые доли мкм). Если a < 2, то происходит сдвиг в сторону больших частиц.
1.6.2 Гамма-распределение.
Закон распределения имеет вид:
, (1.18)он обеспечивает экстремум функции распределения при rextr= b-1 и убывание функции - медленное при уменьшении радиуса и экспоненциально быстрое при r > rextr. Однако теоретическое исследования в области сухих аэрозолей и экспериментальные данные подтверждают, что при r < rextr функция распределения также убывает по экспоненте. Лучшее приближение к экспериментальным данным можно получить, если в качестве аргумента взять обратный радиус или какую-либо другую отрицательную степень.
Такие распределения, известные как гамма - распределения, удобны для машинных расчетов, однако представляют всего лишь удобную аппроксимацию экспериментальных данных и не имеют под собой никакой теоретической основы.
Можно легко получить выражение для определения первого момента гамма - распределения. Если принять, что
, (1.19)то легко взять интеграл вида
, (1.20)где Г - соответствующее значение γ-функции:
(1.21)в точке
. Это очень удобное свойство позволяет выбирать функцию 
таким образом, чтобы удовлетворить экспериментально найденным среднему значению, моде, ширине и кривизне, или любым трем моментам, выбрав соответствующим образом b, β и λ.1.6.3 Логарифмически-нормальное распределение.
Гауссово (нормальное) распределение симметрично относительно своего среднего значения (которое одновременно является модой и медианой) и принимает ненулевые значения, когда модуль аргумента стремится к бесконечности. Нормальная кривая, в которой аргументом является радиус, по вышеупомянутой, а также по ряду других причин плохо аппроксимирует распределения по размерам, наблюдаемые в природных и искусственных аэрозолях. Здесь и заложена логическая причина, по которой используют логарифмический аргумент. Другая причина может быть сформулирована следующим образом. Пусть мы решаем задачу синтеза искусственного аэрозоля, состав которого задан средним размером частиц. Из изложенного в предыдущих разделах следует, что при среднем размере частиц в 1 мкм невозможно ожидать равномерного образования частиц с радиусом 0,1 мкм и 1,9 мкм. Несомненно, в большей степени одинакова вероятность найти частицы с радиусом ar и a1r. Таким образом, нормальное логарифмическое распределение - это просто нормальная кривая, аргументом которой является ln(r). Нормальное распределение по аргументу x, которое задается формулой:
, (1.22)где N0 - общее число частиц; σ - стандартное отклонение, может быть записано в единицах r. Заметим, что σ, будучи средним ln(x), в единицах радиуса соответствует отношению r. Так σ = 0, 3 означает, что точки с
располагаются на расстоянии 
и 
, где 
, и, таким образом, 
представляет собой среднее геометрическое радиуса. Если использовать радиус в качестве аргумента, то нормальное логарифмическое распределение будет иметь вид: 
(1.23)Природные аэрозоли в большинстве случаев не характеризуются симметрией, присущей нормальному логарифмическому распределению. Искусственные системы хорошо им описываются, поскольку при получении искусственных аэрозолей обычно преследуется одна цель - получить частицы определенного среднего размера в рамках узкой фракции.
Еще раз подчеркнем, что распределения Юнга основано на экспериментальных данных о природных аэрозолях. Математические операции с такими распределениями чаще всего возможны только с определенным приближением, а решения уравнений являются численными. Математически строгие обратно-степенное, гамма, и логарифмическое нормальное распределения удобны с точки зрения математической обработки, но, за исключением этого смысла, их использование не обосновано ни экспериментально, ни теоретически. Распределение Юнга, особенно в случае, если a- переменная величина и нижняя граница rminминимальна, обеспечивает достаточно гибкое представление с хорошими коэффициентами корреляции.
2. Состояние проблемы и постановка задачи.
2.1 Газокинетические процессы в дисперсной системе
2.1.1 Непрерывная и дискретная динамика.
Исследование динамики аэрозолей в среде (в том числе в воздухе), необходимо определить, с точки зрения процессов переноса. В свободно - молекулярном режиме молекулы среды перемещаются по прямой, пока не столкнутся с другой молекулой, после чего, молекула изменяет направление, до того момента, пока вновь не столкнётся с другой молекулой, и так далее. Среднее расстояние, пройденное молекулой между столкновениями с другими молекулами, называется длиной свободного го пробега. В зависимости от относительного размера частицы, находящейся в среде и средней длины свободного пробега, отличают два случая.
· Если размер частицы намного больше, чем средняя длина свободного пробега окружающих молекул, система ведет себя, как непрерывная среда. Движение такой частицы подчиняется законам диффузии.