Квантовая теория атома (стр. 3 из 4)

В левую часть уравнения входят величины, зависящие только от r, а в правой части – величины, зависящие только от угловых координат θ и φ. Такое возможно только в том случае, если обе части уравнения равны некоторой постоянной величине, которую называют постоянной разделения. Пусть эта постоянная разделения равна l (l +1), где l – целые числа. Итак, для левой части уравнения получаем

или

После умножения уравнения на

получаем:

Введем безразмерную переменную

и безразмерный энергетический параметр . Здесь – боровский радиус , а nсовпадает с величиной n, выраженной из ранее полученного выражения для энергии электрона в n – ном стационарном состоянии .

Тогда решение последнего уравнения для R(r) получается в виде

, где – присоединенные полиномы Лагерра порядка р и степени m, причем . Таким образом, функция R(r) оказывается функцией двух целых чисел nи l.

Угловая часть волновой функции также ищется с помощью разделения переменных (θ и φ) и имеет вид

, где – полиномы Лежандра от аргумента , а число m принимает следующие значения . Функция угловых координат определяется целыми числами lи m.

Полная координатная часть волновой функции, являющейся решением уравнения Шредингера, имеет вид

.

Для основного невозбужденного состояния (при n = 1, l = 0, m = 0) угловая часть

, и волновая функция записывается в виде .

Постоянная С определяется из условия нормировки вероятности на единицу

.

Для атома водорода (Z = 1) в основном энергетическом состоянии (1S – состояние с n = 1, l = 0, m = 0) можно записать

.

Определим для этого случая постоянную С. Условие нормировки вероятности на единицу имеет вид

. Подставляя выражение для с учетом того, что , получаем .

Воспользовавшись соотношением

(для нашего случая и ), получаем или и окончательно .

Тогда нормированная волновая функция

.

Собственные значения уравнения Шредингера, определяющие энергию электрона в атоме, совпадают с полученными ранее по теории Бора:

или где n = 1, 2, 3 …

Таким образом, энергетические уровни стационарных состояний электрона определяются только главным квантовым числом n.

Каждому значению n соответствует l = 0, 1 ,2 …(n – 1), всего nзначений,

каждому значению lсоответствует m = 0, ±1, ±2, …. ± l, всего (2l + 1) значений. Следовательно, каждому значению nсоответствует

возможных ψ – функций, т.е. кратность вырождения энергетических уровней равна n².

C9-4

Значение квантовых чисел как следствие стационарного уравнения Шредингера:

n– главное квантовое число, определяющее энергетические уровни электрона в атоме,

n = 1, 2, 3 …

l– орбитальное (азимутальное) квантовое число, определяющее момент импульса электрона в атоме (механический орбитальный момент), l = 0, 1, 2, … (n – 1).

Одним из важнейших следствий уравнения Шредингера является квантование орбитального момента импульса электрона:

,

т.е. модуль орбитального момента может принимать лишь значения, кратные ћ и определяемые орбитальным квантовым числом l.

m– магнитное квантовое число, задающее проекцию момента импульса электрона на направление внешнего магнитного поля, m= 0, ±1, ±2, … ± l.

В квантовой механике существует строгое доказательство того, что вектор

момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L_lz на направление внешнего магнитного поля (OZ) принимает квантованные значения, кратные ћ и определяемые магнитным квантовым числом m:L_lz = ћ·m.

Это следствие решения уравнения Шредингера для водородоподобных систем называется пространственным квантованием.

Как уже говорилось, понятие орбиты электрона в квантовой механике носит вероятностный характер. Вероятность обнаружения электрона в единичном объеме отличается в различных точках пространства и может

быть определена через волновую

функцию

По теории Бора вероятность dw ≠ 0 только для r = a₀ (для n= 1). При квантово-механическом рассмотрении существует ненулевая вероятность обнаружения электрона в любой точке пространства, но эта вероятность имеет максимальное значение в окрестности r = a₀: электрон как бы «размазан» в пространстве, образуя электронное облако, густота (плотность) которого характеризует вероятность нахождения в данной точке. При этом квантовые числа nи lопределяют размер и форму электронного облака, а m характеризует ориентацию облака в пространстве.

Описание состояние электронов в атоме. В зависимости от квантовых чисел вводится определенная символика обозначения состояния электрона:

l = 0	S - состояние	Shapp (резкая) серия излучения
l = 1	p - состояние	Principal (главная)
l = 2	d - состояние	Diffuse (диффузная)
l = 3	f - состояние	Fundamental (основная),
и далее по английскому алфавиту (g, h …)

Значение главного квантового числа nуказывается перед орбитальным числом l:

1S (n = 1, l =0, m = 0)

2S (n = 2, l =0, m = 0), 2p (n = 2, l =1, m= ±1)

3S (n = 3, l =0, m = 0), 3p (n = 3, l =1, m= ±1), 3d (n = 3, l =2, m= ±2) ит.д.

Испускание (поглощение) излучения атомами происходит только при переходах атома с одного энергетического уровня на другой, подчиняющихся правилам отбора – правилам, ограничивающим число возможных переходов, связанных с испусканием (поглощением) энергии.

Правила отбора для орбитального квантового числаl: возможны только такие переходы, при которых изменение lподчиняется соотношению Δ l = ± 1.

Это правило отбора непосредственно следует из закона сохранения момента импульса: так как фотон обладает собственным моментом импульса (≈ ћ), то при поглощении фотона атом получает дополнительный момент ћ, а при испускании его момент импульса соответственно уменьшается на эту величину.

Правила отбора для магнитного квантового числаm: возможны только такие переходы, при которых изменение mподчиняется соотношению Δ m = 0, ± 1.

Спектр излучения атомов

Ширина спектральных линий

Из возбужденного состояния атом может спонтанно перейти в состояние с более низким значением энергии. Время существования атома в возбужденном состоянии (время жизни возбужденного состояния) τ ~ 10^-9 с, т.е. некоторая конечная величина. Поэтому в соответствии с принципом неопределенностей Гейзенберга энергия возбужденного состояния не может быть определена с любой степенью точности и имеет некоторый разброс значений ΔЕ. Следовательно энергия испускаемых при таком переходе фотонов будет лежать в некотором диапазоне ΔЕ, и при этом ΔЕ·τ ≥ ћ. Соответственно, спектральная линия излучения расширяется

. Здесь – ширина спектральной линии излучения – разность частот, которые соответствуют ½ максимальной интенсивности излучения I(фактически это «ширина на полувысоте»).