Колебания маятника с различными механизмами затухания (стр. 2 из 3)
Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой mи невесомой пружины жесткостью k.
Пусть масса маятника m, коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая на маятник, F = - bv, v - скорость маятника, b - коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как рассматриваем только линейные системы, b = const, k = const. x - смещение маятника от положения равновесия.
(второй закон Ньютона)
Данное уравнение и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Принято записывать его в следующем, так называемом каноническом виде:
- коэффициент затухания, - собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто w.
Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j0.
2. Движения маятника с различными механизмами затухания
При исследовании собственных колебаний предполагается отсутствие внешней среды. Наличие среды приводит к появлению диссипативной силы, которая, как мы показали, постепенно уменьшает первоначально переданную системе энергию. Это выражается через уменьшение собственной частоты колебаний ω0, также как постепенным уменьшением амплитуды колебаний.
Примечание: во избежание путаницы нумерация формул останется такой же как в научной литературе.[6]
Пусть на колеблющееся тело действует сила мокрого трения:
,Уравнение движения частицы примет следующий вид:
, (1.35)где
. (1.36)Подставляя последнее в (1.35), получим:
(1.37).Так как полученное уравнение верно для произвольного момента времени, то выражение в скобках должно быть нулем. Последнее дает для неизвестной величины
следующее значение 
(1.38)где
, (1.39)Учитывая (1.38), решение (1.36) примет следующий вид:
, (1.40)Полученное уравнение движения описывает затухающие колебания, где
и 
– постоянные, определяемые из начальных условий.В зависимости от соотношения коэффициента трения
и частоты собственных колебаний 
, затухающие колебания подразделяются на два класса. Они соответствуют случаям периодического и непериодического затухания.Периодическое затухание. Оно осуществляется при слабых силах трения:
, (1.41)когда величина (1.39) действительна. В этом случае решение (1.40) выражается формулой (в действительной форме)
, (1.42)Графически это колебание представлено на рисунке (см. приложение 2) и является колебанием с постоянной частотой (1.39), но убывающей с течением времени амплитудой. В этом смысле это не только не гармоническое, но даже и не периодическое колебание, поскольку колебания не повторяются в том же виде. Тем не менее, удобно говорить о периоде этих колебаний, понимая под этим промежуток времени
, (1.43)Говоря «амплитуда затухающих колебаний» понимают величину
, (1.44) 
которая есть максимальное смещение частицы относительно положения равновесия во время колебаний. Из выражения (1.44) следует, что за время , (1.45) амплитуда убывает в 
раз. Этот промежуток времени называется временем затухания, а – декрементом затухания.Наиболее объективной характеристикой затухания колебаний является логарифмический декремент, который является отношением периода колебаний (1.43) к времени затухания (1.45)
, (1.46)Легко заметить, что логарифмический декремент равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд:
, (1.47)Определим число N колебаний, в течение которых амплитуда колебаний убывает в
, раз: