Основы гидрогазодинамики (стр. 5 из 9)
Функция
имеет большое значение при изучении плоских потенциальных течений и называется комплексным потенциалом или характеристической функцией течения.Так как
является аналитической функцией от 
, то ее производная не зависит от направления дифференцирования, а зависит только от положения точки в пространстве, то есть 
по условию Коши-Римана:
Если вектор U разложить в комплексной плоскости годографа U, то
.Производная от комплексного потенциала дает зеркальное изображение комплексной U относительно действительной оси. Обозначим ее как
.
В теории комплексной переменной числа
и 
называют сопряженными, назовем 
как сопряженную U. Таким образом, производная от комплексного потенциала определяет .Таким образом, если изменяется какое-то плоское потенциальное течение, то для него можно подобрать уравнение комплексного потенциала, проанализировать его и просчитать составляющие Uв любой точке. С другой стороны для любого потенциала можно определить вид течения.
16. Частные случаи плоских потенциальных течений
1. Плоско параллельный поток:
Рассмотрим комплексный потенциал -
, где а – действительное число 
и 
- семейство прямых, параллельных оси у. 
- уравнение функции тока.Линии тока
- семейство прямых, параллельных оси х. 
- уравнение эквипотенциальных поверхностей.Для построения поля скоростей возьмем производные
; 
Таким образом, рассмотренный потенциал описывает плоское течение потока вдоль оси х. Величину а можно рассматривать как скорость внешнего (набегающего) потока,
. 
2. Источник и сток.
Рассмотрим комплексный потенциал
, а – действительное число ( 
), тогда 
Уравнение для потенциала:
. 
- эквипотенциальные линии, семейство окружностей с центром в точке (0,0). 
- уравнение функций тока. 
- семейство прямых, проходящих через точку (0,0).Характер (вид) течения определяет знак при а. Если a>0, то это источник, если a<0, то это – сток.
- объемный расход; 
; 
Если разместить источник и сток рядом то получится следующая картина.
Если их свести вместе, то получится диполь.
3. Рассмотрим комплексный потенциал:
Уравнение эквипотенциальных линий
- семейство окружностей, проходящих через точку (0,0) с центрами на оси х.Уравнение для линий тока
- семейство окружностей, проходящих через точку (0,0) с центрами на оси у.4. Рассмотрим комплексный потенциал вида:
Г – циркуляция вектора скорости – круговое течение потока.
- семейство прямых, проходящих через точку (0,0).Это уравнение эквипотенциальных линий.
- функция тока; 
- линии тока – семейство окружностей с центром в (0,0). 
- радиальная скорость; 
Исследованный потенциал определяет течение, которое называется потенциальным вихрем.
Окружная скорость изменяется по гиперболе.
17. Безциркуляционное обтекание круглого цилиндра
Рассмотрим комплексный потенциал, представленный в виде суммы двух, один из которых – поток плоскопараллельного течения, другой – диполя.
Если приравнять
к константе получим уравнение эквипотенциальной линии. 
- линии тока, 
- уравнение для нулевой линии тока. Если принять , то получим уравнение для нулевой линии тока: 
Оно разделится на два: 1) у=0;
2)
- окружность с радиусом 
В идеальной жидкости трения нет, поэтому можно заменять любую линию тока, и характер течения не изменится, следовательно, если заменить нулевую линию тока твердой поверхностью, то получится задача обтекания цилиндра
плоским потоком. Представим функцию тока и потенциал в полярной системе координат: 
; 
; 
Рассмотри составляющие скорости:
Значит:
, 
то есть окружная составляющая скорости изменяется по синусоиде (при 
, 
- 
). Точки А и В передняя и задняя критические точки соответственно.