Статика рідин та газів (стр. 1 из 2)

11. СТАТИКА РІДИН ТА ГАЗІВ.

В цій лекції розглядаються основні питання гідро та аеро-статики, тобто умови і закономірності рівноваги рідин і газів під дією прикладених до них сил і, крім того, умови рівноваги твердих тіл, що знаходяться в рідині чи газі.

1. ТИСК В РІДИНАХ І ГАЗАХ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ.

Введемо спочатку поняття тиску. Розглянемо деяку поверхню S, на яку діє розподілена сила. Виділимо на цій поверхні нескінченно малий майданчик dS (рис. 11.1). Нехай

– це сила, що діє на майданчик dS.

Відношення сили

до площі dS називають напругою:

(11.1)

Орієнтацію майданчика dS задають з допомогою вектора нормалі до нього. Якщо S – це поверхня якогось тіла, то домовились проводити нормаль назовні від поверхні тіла. На рис. 11.1 показано одиничний вектор

цієї нормалі.

Напругу

можна розкласти на дві складові: вздовж нормалі

і перпендикулярно до неї, тобто в площині, дотичній до майданчика dS. Першу складову називають нормальною, а другу – тангенціальною напругами, що діють на майданчику dS:

(11.2)

Якщо напрям

співпадають, то цю напругу називають натягом T, в протилежному випадку – тиском P.

Тиском Р називається фізична величина, що дорівнює модулю нормальної складової сили, яка діє на одиницю площі поверхні тіла:

(11.3)

Напруга в цьому випадку дорівнює:

Зауважимо, що тиск – величина скалярна.

Особливістю рідин та газів є їх текучість, зумовлена малими силами тертя під час відносного руху шарів, що дотикаються, та відсутністю тертя спокою. Рідинам і газам не властива пружність форми, вони мають лише об’ємну пружність. В стані рівноваги напруга в рідинах і газах завжди нормальна до майданчика, на який вона діє. Дотичні (тангенціальні) напруги із-за текучості в рідинах та газах під час рівноваги не виникають.

З цієї точки зору рідини та гази можна означити як середовища, в яких при рівновазі дотичні напруги існувати не можуть.

З даного означення випливає, що в стані рівноваги нормальна напруга в рідині чи газі (тиск) не залежить від орієнтації майданчика, на який вона діє. Це твердження називають законом Паскаля. Іншим чином його можна сформулювати так:

Тиск, що діє на рідину чи газ, передається в усіх напрямках без зміни.

Закон Паскаля пояснює роботу гідравлічного пресу (рис. 11.2).

В газах нормальна напруга завжди направлена всередину газу, тобто – це тиск. В рідинах

, як правило, теж тиск, хоч інколи можна реалізувати випадки, коли

буде натягом (від’ємний тиск).

2. ОСНОВНЕ РІВНЯННЯ ГІДРОСТАТИКИ. БАРОМЕТРИЧНА ФОРМУЛА.

Сили, що діють в рідині, ділять звичайно на сили масові (об’ємні) і сили поверхневі.

Масова сила пропорційна масі

, а отже, і об’єму

елемента рідини, на який вона діє. Цю силу можна записати як

, де

називають об’ємною густиною масових сил. Прикладом масових сил є сила тяжіння:

де

– густина рідини.

Поверхневі сили – це сили, що діють на поверхню даного об’єму рідини завдяки дії нормальних та дотичних напруг з боку оточуючої рідини.

Розглянемо рідину, що перебуває у рівновазі. В цьому випадку дотичних напруг немає. Виділимо в рідині нескінченно малий елемент об’єму

у вигляді циліндра з площею основи

і довжиною

, розташованого вздовж вісі X (рис. 11.3):

Тиск в т.xдорівнює

, в т.

. Сили тиску на основи циліндра відповідно дорівнюють:

Проекція рівнодійної сил тиску на вісь X:

Вираз в дужках є не що інше, як похідна від Р по x; але, оскільки Pзалежить також і від yтаz, то це частинна похідна:

(11.4)

Таким чином, проекція рівнодійної сил тиску на вісь Xпропорційна елементу об’єму і її можна подати у виді:

– це проекція на вісь X сили, яка діє на одиницю об’єму рідини.

Аналогічно для двох інших осей Yта Z:

Вектор

(11.5)

Вираз в дужках є градієнт скаляра Р:

(11.6)

Об’ємна густина рівнодійної сил тиску, що діють на елементи об’єму рідини, дорівнює градієнту тиску, взятому з протилежним знаком.

В стані рівноваги сила

повинна зрівноважуватись масовою силою

. Це дає рівняння

, (11.7)

яке називають основним рівнянням гідростатики. В координатній формі воно має вид системи (11.8):

(11.8)

Якщо масових сил немає, тобто

, то з виразу (11.8) матимемо:

або

При рівновазі у відсутності масових сил тиск Р один і той же по всьому об’єму рідини.

Це ще одне формулювання закону Паскаля (Блез Паскаль,
1623 – 1662).

Зокрема, якщо масові сили відсутні, рідина може перебувати в рівновазі тільки тоді, коли зовнішній тиск на її поверхню один і той же в усіх точках цієї поверхні. Інакше виникне рух рідини. У відсутності масових сил однаковий тиск на поверхню рідини приводить до появи такого ж тиску в усіх точках всередині рідини.

Якщо рідина знаходиться в полі тяжіння, то

; направимо вісь Zвертикально вгору, тоді:

(11.9)

Тиск залишається сталим в кожній площині

. Горизонтальні площини – це площини однакового тиску. Вільна поверхня рідини горизонтальна тому, що вона перебуває під сталим тиском атмосфери.

Якщо рідина не стискується, то

і (11.9) інтегрується:

, (11.10)

де

– тиск на висоті

тобто атмосферний тиск, якщо початок розташувати на вільній поверхні рідини.

Рівняння (11.10) охоплює практично всю шкільну гідростатику.

(інакше

) – це гідростатичний тиск, викликаний вагою рідини, який залежить від глибини занурення в рідину.

Застосуємо основне рівняння гідростатики до земної атмосфери. Одержимо (див. (11.9)):

(11.11)

В останньому виразі замість частинної похідної записана звичайна, оскільки Р не залежить від xтаy. Для земної атмосфери наближено можна використати рівняння Клапейрона-Менделєєва: