Всі результати роботи отримані автором самостійно. У роботах, виконаних у співавторстві, теоретичні дослідження та чисельні розрахунки виконані здобувачем. Постановка задач належить науковому керівнику Мелешко В.В. та Х. Арефу – співавтору по роботі [3]. Обговорення отриманих результатів виконані спільно з усіма співавторами.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі змісту, вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних джерел. Викладена на 127 сторінках, із них 102 сторінки основного тексту, 20 рисунків, 6 таблиць, бібліографічні посилання складено з 148 джерел.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі шляхом критичного аналізу та порівняння з відомими розв’язаннями наведеної задачі подано інформацію про актуальність досліджень, сформульовано мету та наукову новизну роботи, представлено питання, що виносяться на захист, а також практичне значення одержаних результатів.
У першому розділі представлено узагальнений огляд літератури по темі дисертації, проаналізовано процес виникнення основних напрямків досліджень у даній області. Зазначені невирішені проблеми, аналіз яких дозволив сформулювати основні завдання дисертації.
Відзначено великий внесок у дослідження в області вихрової динаміки робіт таких науковців: Г.Гельмгольц, фундаментальна стаття якого поклали початок теорії вихорів (1858), Е.Г. Борд, А.В. Борисов, Н.С. Васильєв, Д.Н. Горячев, В.Ф. Козлов, Л.Г. Куракін, В.В. Мелешко, Е.А. Новіков, М.А. Соколовський, Л.Г. Хазін, В.І. Юдович, H. Aref, S. Boatto, L.J. Campbell, D. Crowdy, D. Dritschel, W. Grebli, T.H. Havelock, H. Kirchhoff, J.Marshall, P.K. Newton, K.O`Neil, H. Poincare, P.G. Saffman, M.M. Sano, G.J.F.van Heijst, J.J. Thomson, W. Thomson, H. Villat та багатьох інших.
У другому розділі визначено основні поняття теорії вихрових рухів на необмеженій площині, виписано загальні рівняння, що описують рух систем точкових вихорів інтенсивності на необмеженій площині в ідеальній нев’язкій рідині. Вихорі розміщені на комплексній площині та мають координати, при відсутності зовнішнього потенціального потоку рівняння руху точкових вихорів на необмежені рідині.
Виписано перші інтеграли рівнянь руху систем точкових вихорів, що пов’язані безпосередньо з незалежністю функцій від часу та її інваріантністю відносно паралельного переносу та повороту координат:
Представлено основні властивості систем вихорів.
Властивість 1. Якщо для даної конфігурації вихорів одночасно змінити знаки всіх інтенсивностей, то в усі наступні моменти часу система буде проходити через ті ж конфігурації, через які пройшла до цього моменту.
Властивість 2. Нехай в момент часу існує конфігурація, в якій всі вихорі колінеарні, тобто лежать на одній прямій. Тоді конфігурації в момент часу для будь-яких являються відображенням одна одної відносно цієї прямої.
Властивість 3. Система вихорів не може проходити більше, ніж через дві колінеарні конфігурації. Час, необхідний для переходу з однієї колінеарної конфігурації в іншу, завжди однаковий в процесі руху.
Властивість 4. Якщо дві системи та складаються з однакової кількості вихорів, до того ж інтенсивність кожного вихору першої систем пропорційна множнику інтенсивності другої системи , то початкові положення обох конфігурацій подібні. При цьому, масштаби довжин системи рівні масштабам довжин системи, помноженим на множник. Тоді наступна конфігурація другої системи через проміжок часу буде подібна до конфігурації першої системи через час. Час та пов’язаний співвідношенням.
Властивість 5. Якщо інтенсивності вихорів мають однаковий знак, то взаємна відстань між вихорами обмежена під час всього руху.
Властивість 6. При умові фазові потоки системи на площині порядку інтегралів траєкторно-еквівалентні, якщо постійні інтегралів пов’язані співвідношенням.
Наведено означення стаціонарних конфігурацій. До стаціонарних конфігурацій відносяться:
положення рівноваги, при яких швидкість кожного вихору конфігурації дорівнює нулеві;
твердотільні трансляції, при яких вихорі рухаються з постійною швидкістю;
відносні рівноваги, при яких вихорі обертаються навколо деякого центра (центра завихрення) як тверде тіло з постійною кутовою швидкістю;
конфігурації колапсу, при яких всі вихорі прямують до центру завихрення (або віддаляються від нього), а відстані між ними зменшуються таким чином, що конфігурація залишається геометрично подібною до початкової.
В представленій дисертаційній роботі під стаціонарними конфігураціями розуміємо лише відносні рівноваги точкових вихорів, а саме поняття стаціонарного руху розглядаємо лише для гамільтонових систем. Тому стаціонарними вважаємо ті конфігурації, які рівномірно обертаються навколо центра завихрення з постійною кутовою швидкістю.
Функція току рідини, зумовлена конфігурацією точкових вихорів інтенсивності , визначається з виразу:
Поле швидкості потоку рідини пов’язане з полем функції току рівняннями:
Також проведено аналогію з задачами небесної механіки та представлено теореми про кількість деяких конфігурацій, зокрема колінеарних.
Третій розділ дисертації присвячено пошуку стаціонарних конфігурацій рівномірно намагнічених сталевих голок, що рухаються в рідині. Даний експеримент вперше було відтворено Майєром (1878), і саме завдяки цьому експерименту набула розвитку одна з найцікавіших задач вихрової динаміки про рівномірне обертання систем точкових вихорів.
Слід відмітити, що вперше на аналогію між обертанням вихрових структур та електромагнітними явищами звернув увагу Гельмгольц в своїй визначній роботі, яка поклала початок теорії вихрових рухів (1858). І хоча повної аналогії між плаваючими магнітами та точковими вихорами не існує, все ж таки, результати, знайдені експериментально, мають певну аналогію з чисельними та аналітичними розрахунками. В розділі описано експериментальну установку та представлено основні результати експерименту.
В експерименті декілька намагнічених сталевих голок (експеримент проводився з кількістю голок від 2 до 12) розміщувались в корки та занурювались у посудину з водою діаметром 14-16 см та висотою 12 см. Голки розміщувались таким чином, що всі їх додатні полюси знаходились вище поверхні води. До посудини з намагніченими голками зверху над поверхнею площини води підводився сильний магніт протилежним з голками полюсом. Внаслідок чого додатні полюси намагнічених голок відштовхувались одна від одної з силами, величини яких змінювались обернено пропорційно квадрату відстаней між ними, та утворювали через деякий проміжок часу (1 - 1,2 хв.) нерухомі конфігурації. Коли кількість намагнічених голок менше чотирьох, вони розміщувались у вершинах правильних трикутника та чотирикутника.
Отримані конфігурації намагнічених точкових голок при кількості плаваючих голок від 5 до 10 представлені на рис.1. Видно, що 5 та 6 магнітів можуть знаходиться в вершинах правильних многокутників, як без магніту в центрі многокутника, так і з розміщеним в центрі многокутника магнітом, схематично це можна представити у вигляді 4+1 та 5+1. Конфігурація 7 магнітів розміщується, відповідно до запропонованої схеми, у вигляді 7=6+1. Аналогічно, 8=7+1 та 8=6+2; для 9 магнітів 9=8+1 та 9=7+2; 10 магнітів розташовуються у вигляді 10=7+3 та 10=8+2.
Під час відтворення експерименту були також помічені конфігурації намагнічених голок, що розміщувались несиметричним чином, або симетрично відносно вісі, і перебували у даному положенні деякий час нерухомо (приблизно 10-15 сек.). Потім вони продовжували рухатись та приймали стійке симетричне положення. Деякі з цих „нестійких конфігурацій” зображено на рис.2. З рисунку видно, що помічені положення вихорів мають певну аналогію з чисельно отриманими та представленими в роботі несиметричними конфігураціями точкових вихорів. Зокрема, конфігурація „тимчасово стійких” намагнічених голок (а) аналогічна до чисельно отриманої несиметричної конфігурації семи точкових вихорів 71 (лише повернуту на кут ), а конфігурація (с) – схожа на конфігурацію 91 - несиметричну конфігурацію 9 вихорів. Зрозуміло, що отримані конфігурації є нестійкими, але помічені аналогії з чисельними розрахунками ще раз підтверджують важливість експерименту Майєра для вихрової динаміки.
У четвертому розділі дисертації розглянуто рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів однакової інтенсивності. У цьому випадку рівняння руху вихорів мають вигляд.
Розглядається випадок, коли система точкових вихорів рівномірно обертається навколо центру завихрення з постійною кутовою швидкістю , тому розв’язок системи рівнянь.
Функція току рідини зумовлена конфігурацією точкових вихорів, що обертаються з постійною кутовою швидкістю, приймає вигляд:
В даному розділі запропоновано новий метод для побудови рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності, його чисельна реалізація суттєво спрощує обсяг обчислень при знаходженні нових конфігурацій систем точкових вихорів. Метод базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь руху точкових вихорів. В якості початкового наближення вибирається стаціонарна конфігурація точкових вихорів та стаціонарна точка потоку рідини в системі координат, що обертається. В стаціонарній точці рідини розміщується точковий вихор, інтенсивність якого, по мірі проведення ітерацій, поступово збільшується від нуля до інтенсивності решти вихорів. При цьому поле швидкостей не зазнає змін. На кожному ітераційному кроці розв’язується нелінійна система алгебраїчних рівнянь порядку , в результаті визначається нова рівномірно-обертова конфігурація з вихором.
Таким чином, для переходу від рівномірно-обертової конфігурації точкових вихорів до системи, що складається з вихору, використовується наступна схема:
1) Вибираємо в якості вихідної системи довільну конфігурацію рівномірно-обертових точкових вихорів.