Фізика відкритих систем. Синергетика (стр. 3 из 5)
(3.6)Функція течії має вигляд:
(3.7)Тоді для компонентів швидкості маємо
(3.8) 
Далі, можна підставити вираження (3.8) у рівняння (3.4) і, використовуючи співвідношення ортогональності для базисних функцій, одержати систему рівнянь.
(3.9)Прирівнюючи коефіцієнти в лівій і правій частині, одержуємо:
(3.10)Із другим рівнянням поступаємо аналогічно. Різниця, однак, у тім, що в лівій частині тепер присутні дві просторові моди – комбінації косинусів та синусів:
(3.11)Отже, ми знайшли систему трьох звичайних диференціальних рівнянь для динамічних змінних X, Y, Z. Щоб з нею було зручно працювати, корисно привести рівняння до безрозмірного виду за допомогою деякої заміни змінних і параметрів. Підставимо в (3.10)-(3.11) X = Ах, Y = Ву, Z = Cz, t = Dτ, де А, В, C, D- деякі постійні коефіцієнти. Тоді отримуємо:
(3.12)Спробуємо підібрати коефіцієнти так, щоб вид рівнянь максимально спростився.
(3.13)Крім того введемо безрозмірні параметри:
(3.14)Тоді рівняння (3.12) матимуть вигляд:
(3.15)Це і є модель Лоренцо (3.15). Вона являє собою динамічну систему із тривимірним фазовим простором. Миттєвий стан визначається набором трьох змінних (х, y, z), а оператор еволюції визначений конкретним видом рівнянь (3.15). Змінна х характеризує швидкість обертання конвекційних валів, величини y и z відповідають за розподіл температури, відповідно, по горизонталі й по вертикалі. Параметр b визначається геометрією конвекційного осередку, а саме, відношенням її вертикального й горизонтального розмірів а. Параметр
є відношення коефіцієнта кінематичної в'язкості й коефіцієнта температуропровідності v/k. Його називають числом Прандтля. Комбінацію 
називають числом Рєлея. У свій час Рєлей показав, що умові виникнення конвекційного ходу у вигляді валів відповідає певне критичне значення цього числа, а саме, 
. З формули (3.10) видно, що параметр г являє собою відношення 
.Розділ 4. Фрактальні структури й розмірність дивних атракторів
Дисипативні динамічні системи володіють тією властивістю, що їх розв’язки при
притягуються до деякої підмножини міри нуль у фазовому просторі. Ця підмножина для випадку регулярної динаміки може бути або стійкою стаціонарною точкою, або стійким граничним циклом, або інваріантним тором. Всі ці підмножини є підмножинами фазового простору. Математичним вираженням хаотичних коливань дисипативних систем служить дивний атрактор, який уже не володіє гладкою структурою й достатньою безперервністю. Геометрична будова дивних атракторів більш складна. Вони володіють геометричною {масштабною) інваріантністю, або, як іноді говорять, скейлинговою структурою.Щоб краще уявити собі, про що йде мова, розглянемо характерний приклад – атрактор Ено, що виникає в простій моделі, яка описується точковим відображенням Ено.
Ми вже знаємо, що дивні атракторы можуть з'являтися в системах диференціальних рівнянь, розмірність фазового простору яких більше або рівна трьом,
. Однак складні геометричні притягаючі множини, можуть виникати й у так званих точкових відображеннях – динамічних системах з дискретним часом. Використовуючи точкові відображення, можна описувати системи самої різної природи – від фізичної до біологічної. Відображення Ено – це оборотне двовимірне точкове відображення, яке в принципі можна розглядати як відображення Пуанкаре для деякої двомірної січної поверхні і трьохмірного потоку.Розглянемо в п-мірному фазовому просторі динамічної системи деяку множину А. Покриємо дану множину п-мірними кубиками зі стороною а так, щоб ці кубики містили всі точки множини сили А. Нехай N – мінімальне число кубиків, необхідних для покриття А. Розглянемо межу
(4.1)Величина
є метричною розмірністю й називається ємністю або фрактальною розмірністю (5). Зауважимо, що в літературі ємність іноді називають також хаусдорфовою або ентропійною розмірністю.Для регулярних сил (наприклад, шматка тривимірного евклідового простору, поверхні або лінії) фрактальна розмірність дорівнює цілому числу (відповідно 3, 2, 1) і співпадає зі звичайною розмірністю. Дійсно, при малих а з (4.1) одержуємо:
(4.2)Однак для нерегулярних сил, що володіють масштабно-інваріантною структурою, фрактальная розмірність має дробове значення.
Визначимо спочатку фрактальную розмірність множин, які ми розглянули раніше, множини середніх третин і килима Серпиньського.
З побудови сил середніх третин витікає, що вони
Рис. 4. Побудова множини Кантора. складаються із
розділених інтервалів довжиною 
кожний. Справді, при к=0 N=1, a=1. Якщо к=1, то N=2, a=1/3, для к=2, N=4, a=1/9 і для k = m і (рис. 4).Тут к означає число ітерацій побудови сил. Отже, використавши формулу (4.1), одержимо:
Визначимо тепер фрактальну розмірність килима Серпиньського. Маємо
К=1, N= 8=81 а=1/31
К=2, N= 8·8=82а=1/32
К=3, N= 8·8·8=83а=1/33
К=m, N= 8m а=1/3m
Таким чином, килим Серпиньского – цевже не лінія, розмірність якої дорівнює одиниці, але ще й не поверхня, оскільки розмірність поверхні дорівнює двом. Це щось проміжне лінією й двовимірною поверхнею. Самим несподіваним є те, що в природі дійсно існують об'єкти, що представляють собою аналог килима Серпиньського в тому розумінні, що їхня розмірність більше одиниці й менше двох. Найбільш відомі з них – це фрактальні агрегати колоїдних часток. Отже, канторова сила – це не чиста математична абстракція.
Як ми вже відзначали, дивні атрактори звичайно близькі по своїй структурі до канторових сил, тому варто очікувати, що розмірність дивного атрактора буде дробовою. Таким чином, значення розмірності можна використати як критерій відмінності простих атракторів від дивних. В основній роботі Рюеля й Такенса термін "дивний" атрактор був уведений авторами саме для того, щоб підкреслити, що такі атрактори не є гладкими множинами.
Через надзвичайну важливість фрактальної розмірності виникає питання про явне її обчислення для тих або інших атракторів динамічних систем.
Існує гіпотеза, висунута Капланом і Йорке, відповідно до якої фрактальна розмірність пов'язана з характеристичними показниками Ляпунова
. Ця гіпотеза припускає, що фрактальна розмірність dF збігається з ляпуновскою розмірністю dL.Длятого, щоб встановити геометричну структуру дивного атрактора, необхідно взяти яку-небудь малу область фазового простору й простежити, як із часом вона еволюціонує. Інформацію про зміну малого елемента фазового об'єму динамічної системи дають характеристичні показники Ляпунова.
Деяке критичне значення атрактор може перетерпіти якісну перебудову, а динаміка системи різко змінитися. Зокрема, із граничного циклу може виникнути інваріантний тор і періодичний рух зміниться на квазіперіодичний.
Значення параметрів, при яких відбувається топологічна (або якісна) перебудова сталих режимів руху в системі, називаються біфуркаційними значеннями, а сама перебудова – біфуркацією. При безперервній зміні параметрів можуть виникнути послідовності біфуркацій.
Встановлення в динамічній системі хаотичного режиму руху в результаті тієї або іншої послідовності біфуркацій прийнято називати сценарієм або картиною розвитку хаосу. Тут ми обговоримо найбільш важливі й типові із цих сценаріїв.
Припустимо, що динамічна система, що задає диференціальними рівняннями, залежить від деякого керуючого параметру
: