Электрические цепи постоянного тока (стр. 2 из 2)

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ = E₁₁,

R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ + R₂₃I₃₃ = E₂₂, (1.6)

R₃₁I₁₁ + R₃₂I₂₂ + R₃₃I₃₃ = E₃₃,

где

E₁₁ = E₁ – E₂, E₂₂ = E₂, E₃₃ = –E₅;

R₁₁ = R₁ + R₂, R₂₂ = R₂ + R₃ + R₄, R₃₃ = R₄ + R₅;

R₁₂ = R₂₁ = –R₂, R₂₃ = R₃₂ = –R₄, R₁₃ = R₃₁ = 0

Рис. 1.3

Токи в ветвях при указанных на схеме условных положительных направлениях:

I₁ = I₁₁, I₂ = I₂₂ – I₁₁, I₃ = I₂₂,

I₄ = I₂₂ – I₃₃, I₅ = –I₃₃

Если некоторые токи в ветвях окажутся отрицательными, его означает, что действительные направления токов в них противоположны условно принятым.

1.3.2 Метод узловых потенциалов (МУП)

Ток в любой ветви электрической цепи можно определить по известным потенциалам узлов, к которым она подключена, или напряжению между этими узлами.

Согласно второму закону Кирхгофа для любой ветви электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, при заданных условных положительных направлениях ЭДС, тока и напряжения и указанном направлении обхода контура можно написать уравнение -U_km + R_kmI_km = E_km, откуда

I_km = (E_km + U_km)/R_km = [E_km + (φ_k – φ_m)]G_km(1.8)

где U_km = (φ_k - φ_m) — напряжение между узлами «k» и «m», а φ_k и φ_m — потенциалы этих узлов, причем φ_k> φ_mG_km = 1/R_km– проводимость ветви.

Метод расчета электрических цепей, в котором в качестве неизвестных принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Метод более эффективен по сравнению с методом контурных токов в случае, если число узлов в схеме меньше или равно числу независимых контуров, так как в любой электрической цепи потенциал одного из узлов можно принять равным нулю, а число узлов, потенциалы которых следует определить относительно этого узла, станет равным (q -1).

Система уравнений для неизвестных потенциалов любой электрической цепи, имеющей q узлов, может быть получена из системы уравнений, составленной по первому закону Кирхгофа для (q - 1) узлов, если в ней токи в ветвях выразить через потенциалы узлов в соответствии с (1.8). В общем случае эта система имеет вид

G₁₁φ₁ + G₁₂φ₂ + G₁₃φ₃ + … + G_1nφ_n = I_y1,

G₂₁φ₁ + G₂₂φ₂ + G₂₃φ₃ + … + G_2nφ_n = I_y2, (1.9)

G_n1φ₁ + G_n2φ₂ + G_n3φ₃ + … + G_nnφ_n = I_yn

где n = (q - 1); φ₁, ф₂…φ_n — потенциалы 1, 2, … n узлов относительно узла q, потенциал которого принят равным нулю; G_kk — сумма проводимостей всех ветвей, подключенных к узлу k; G_kj = G_jk — сумма проводимостей ветвей между узлами «j» и «k», взятая со знаком «минус». Если же между узлами «j» и «k» нет ветвей, то принимают G_kj = G_jk = 0; I_yk — узловой ток, равный сумме токов всех ветвей, содержащих источники ЭДС и подключенных к узлу «k», причем каждый из них определяется по уравнению (1.8) при U_km = 0. Токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а от узла — со знаком «минус».

После решения системы (1.9) относительно узловых потенциалов определяют напряжения между узлами U_km и токи в ветвях в соответствии с (1.8). Токи в ветвях, не содержащих источников ЭДС, определяют аналогично, полагая в уравнении (1.8) E_km = 0.

Например, для электрической цепи (см. рис. 1.3), если принять потенциал узла 3 равным нулю (φ₃ = 0), система уравнений будет иметь вид

G₁₁φ₁ + G₁₂φ₂ = I_y1, (1.10)

G₂₁φ₁ + G₂₂φ₂ = I_y2,

где

Метод узловых потенциалов особенно эффективен при расчете электрических цепей с двумя узлами и большим количеством параллельных ветвей, при этом, если принять потенциал одного из узлов равным нулю, например, j₂ = 0, то напряжение между узлами будет равно потенциалу другого узла

(1.11)

где п — число параллельных ветвей цепи, а m — число ветвей, содержащих источники ЭДС.

Рис. 1.4

1.3.3 Метод эквивалентного генератора (МЭГ)

Метод позволяет в ряде случаев относительно просто определить ток в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи и исследовать поведение этой ветви при изменении ее сопротивления. Сущность метода заключается в том, что по отношению к исследуемой ветви сложная цепь заменяется эквивалентным источником (эквивалентным генератором — ЭГ) с ЭДС Е_г и внутренним сопротивлением R_г.

Например, по отношению к ветви с резистором R₃ электрическую схему, приведенную на рис. 1.4, а, можно заменить эквивалентной (см. рис. 1.4, б).

Если известны ЭДС и сопротивление эквивалентного генератора, то ток ветви может быть найден как

I₃ = E_г / (R_г + R₃) (1.12)

и задача сводится к определению значений Е_г и R_г.

Уравнение (1.12) справедливо при любых значениях сопротивления резистора R₃. Так, при холостом ходе ЭГ, когда узлы 1 и 2 разомкнуты, I₃ = 0 и Е_г = U₀, где U₀ = (φ₁ – φ₂) — напряжение холостого хода эквивалентного генератора, φ₁ и φ₂ — потенциалы узлов 1 и 2 в этом режиме.

При коротком замыкании ветви (R₃ = 0) ток в ней I_кз = E_г/R_г = U₀/R_г,откуда внутреннее сопротивление ЭГ R_г = U₀/I_кз. Таким образом, для определения параметров эквивалентного генератора необходимо рассчитать любым из известных методов потенциалы узлов φ1 и φ2 в режиме холостого хода ЭГ и ток короткого замыкания в исследуемой ветви.

Приведенный метод определения параметров эквивалентного генератора является наиболее универсальным, однако в ряде случаев сопротивление R_г, проще рассчитать как эквивалентное сопротивление между разомкнутыми узлами исследуемой ветви сложной цепи в предположении, что все источники ЭДС в цепи закорочены, как показано на рис. 1.4, в.

Литература

1. Иванов И. И., Лукин А. Ф., Соловьев Г. И.

И 20 Электротехника. Основные положения, примеры и задачи. 2-е изд., исправленное. — СПб.: Издательство «Лань», 2002.

2. Иванов И. И., Равдоник В.С.

Электротехника: Учебник для вузов. — М.: Высшая школа, 1984.

3. Электротехнический справочник. В 3-х т. Т. 1. Э45 Общие вопросы. Электротехнические материалы/ Под общ. ред. профессоров МЭИ В. Г.Герасимова, П. Г. Грудинского, Л. А. Жукова и др. — 6-е изд., испр. и доп. — М.: Энергия, 1980.