Опис та типологія коливань (стр. 4 из 4)

Оскільки F— квадратична функція швидкостей, то в силу теореми Ейлера про однорідні функції сума в правій стороні рівності дорівнює 2F. Таким чином,

(4.13)

т е. швидкість зміни енергії системи дається подвоєної дисипативної функцією. Тому що дисипативні процеси приводять до зменшення енергії, то повинне бути завжди F > 0, тобто квадратична форма (4.11) істотно позитивна.

Рівняння малих коливань при наявності тертя виходять додаванням сил (4.8) у праву сторону рівнянь (3.5):

(4.14)

Поклавши в цих рівняннях

x_k = A_ke^rt,

одержимо по скороченні на e^rt систему лінійних алгебраїчних рівнянь для постійних Ak

(4.15)

Дорівнявши нулю визначник цієї системи, знайдемо характеристичне рівняння, що визначає значення r:

(4.16)

Це — рівняння ступеня 2s відносно r. Оскільки всі його коефіцієнти речовинні, те його коріння або речовинні, або попарно комплексно сполучені. При цьому речовинні коріння неодмінно негативні, а комплексні мають негативну речовинну частину. У противному випадку координати й швидкості, а з ними й енергія системи експоненціальне зростали б згодом, тим часом як наявність дисипативних сил повинне приводити до зменшення енергії.

Змушені коливання при наявності тертя

Дослідження змушених коливань при наявності тертя цілком аналогічно зробленому в п. 1.2 змушені коливання. Ми зупинимося тут докладно на випадку, що представляє самостійний інтерес, періодичної сили, що змушує.

Додавши в правій стороні рівняння (4.1) зовнішню силу f cos yt і розділивши на т, одержимо рівняння руху у вигляді

(5.1)

Рішення цього рівняння зручно знаходити в комплексній формі, для чого пишемо в правій частині e^iγt замість cos yt:

Приватний інтеграл шукаємо у вигляді x = B e^iγt і знаходимо для В:

(5.2)

Представивши В у виді be^iδ, маємо для b і δ:

(5.3)

Нарешті, відокремивши речовинну частину від вираження Be^iγt = be^i(γt+δ), одержимо приватний інтеграл рівняння (5.1), а додавши до нього загальне рішення рівняння без правої частини (яке ми напишемо для визначеності для випадку ω0>?), одержимо остаточно:

х = ае^-λtcos (ωt+ a) + b cos (γt + δ). (5.4)

Перший доданок експоненціальне убуває згодом, так що через досить великий проміжок часу залишається тільки другий член:

x = b cos (γt + δ). (5.5)

Вираження (5.3) для амплітуди b змушеного коливання хоча й зростає при наближенні частоти γ до ω₀, але не звертається в нескінченність, як це було при резонансі під час відсутності тертя. При заданій амплітуді сили f амплітуда коливання максимальна при частоті

при λ<<<ω₀ це значення відрізняється від ω₀ лише на величину другого порядку малості.

Розглянемо область поблизу резонансу. Покладемо γ = ω₀ + ε, де ε — мала величина; будемо також уважати, що λ<<ω₀. Тоді в (5.2) можна приблизно замінити:

так що

(5.6)

або

(5.7)

Відзначимо характерну рису ходу зміни різниці фаз δ між коливанням і силою, що змушує, при зміні частоти останньої. Ця різниця завжди негативна, тобто коливання «запізнюється» щодо зовнішньої сили. Удалині від резонансу, з боку γ < ω₀, δ прагне до нуля, а з боку γ > ω0 — до значення — π. Зміна δ від нуля до — π відбувається у вузькій (ширини ~ λ) області частот, близьких до ω0; через значення -π/2 різниця фаз проходить при γ = ω0. Відзначимо в цьому зв'язку, що під час відсутності тертя зміна фази змушеного коливання на величину ? відбувається стрибком при ? = ?0 (другий член в (2.4) міняє знак); облік тертя «розмазує» цей стрибок.

При усталеному русі, коли система робить змушені коливання (5.5), її енергія залишається незмінної. У той же час система безупинно поглинає (від джерела зовнішньої сили) енергію, що дисипарується завдяки наявності тертя. Позначимо за допомогою I(γ) кількість енергії, що поглинається в середньому в одиницю часу, як функцію частоти зовнішньої сили. Згідно (4.13) маємо: I (γ) = 2F,

де F — середнє (по періоду коливання) значення дисипативної функції. Для одномірного руху вираження (4.11) дисипативної функції зводиться до

Підставивши сюди (5.5), одержимо:

Середнє за часом значення квадрата синуса дорівнює ? , тому

I(γ) = λmb²γ². (5.8)

Поблизу резонансу, підставляючи амплітуду коливання з (5.7), маємо:

(5.9)

Такий вид залежності поглинання від частоти називається дисперсійним. На півшириною резонансній кривій (мал. 1)

називають значення |ε|, при якому величина I(ε) зменшується вдвічі в порівнянні з її максимальним значенням при ε = 0.З формули (5.9) видно, що в цьому випадку ця на півширина збігається з показником загасання ?. Висота ж максимуму

I (0) = f ² / 4m?

обернено пропорційна ?. Таким чином, при зменшенні показника загасання резонансна крива стає вже й вище, тобто її максимум стає більше гострим. Площа ж під резонансною кривою залишається при цьому незмінній. Остання дається інтегралом

Оскільки I(ε) швидко убуває при збільшенні |ε|, так що область більших |ε| однаково не істотна, можна при інтегруванні писати I(ε) у вигляді (5.9), а нижня межа замінити на — ∞. Тоді

(5.10)

Висновок

Коливання - більш-менш регулярно повторюваний процес.Таке дуже нестроге, «якісне» визначення поняття «коливання». Можна привести безліч прикладів коливальних процесів, що ставляться до різних областей фізики (і не тільки фізики). Коливається маятник годин; коливається вантаж, підвішений на пружині. Коливається схвильована поверхня води й гітарна струна. Коливається заряд на пластинах конденсатора й магнітне поле в котушці індуктивності коливального контуру; періодично змінюється температура повітря (узимку холодніше - улітку тепліше) і кількість автомобілів на вулицях міста (більше в годинники пік - менше пізньої вночі). Періодично міняється економічна ситуація в житті суспільства: кризові явища переміняються підйомом економіки. Коливається тиск (або щільність повітря), викликаючи коливання вушної мембрани - і ми чуємо голос співака на оперній сцені. Таких прикладів можна привести як завгодно багато. Ознайомилися з коливаннями в тієї або іншій фізичній системі. Тут же познайомилися з найбільше що часто зустрічаються найпростішими видами коливальних рухів, основними характеристиками коливальних процесів, з математичним способом опису коливань.

У результаті проробленої роботи було розглянуте наступне:

вільні одномірні коливання;

змушені коливання;

коливання систем з багатьма ступенями волі;

загасаючі коливання;

змушені коливання при наявності тертя.

Література

1.Ландау Л.Д., Лифшнц Е.М. Теоретична фізика: Посібник. - Т.I. Механіка. - 4-е изд., випр. - К.: Наука. 1988

2.Кингсеп А.З, Локшин Г.Р., Ольхов О.А. Основи фізики. Курс загальної фізики: Підручник. В 2 т. Т. 1. Механіка, електрика й магнетизм, коливання й хвилі, хвильова оптика – К., 2001

3.Матвєєв А.Н., Механіка й теорія відносності. – К., 2003

4.СавельевИ.В. Курс общей физики, том I. Механика, колебания и волны, молекулярная физика.- М.: Издательство «Наука», 1970

5.Зоммерфельд А., Механика. Регулярная и хаотическая динамика. Ижевск, 2001