Измерение функции распределения атомов серебра методом Штерна-Ламмерта (стр. 3 из 4)

2.9 Максвелловское распределение молекул по скоростям

Для газа, находящегося в замкнутом сосуде, результатом многочисленных столкновений молекул между собой и со стенками сосуда, является достаточно быстрое установление универсального распределения молекул по скоростям, которое было теоретически получено Максвеллом в 1860. На уровне макроскопического описания газа максвелловскому распределению молекул по скоростям соответствует состояние теплового равновесия в газе: давление и температура во всех местах внутри сосуда оказываются одинаковыми.

Молекулы газа даже в равновесии движутся беспорядочно, сталкиваясь между собой и со стенкой сосуда, беспрерывно меняя свою скорость. Это означает, что в каждый момент времени в газе есть молекулы, которые имеют самые различные скорости. Вместе с тем, поскольку давление и температура в газе остаются постоянными, то, как бы не менялась скорость молекул, среднее значение ее квадрата остается постоянным. Это оказывается возможным лишь при наличии неизменного во времени и одинакового во всех частях сосуда распределения молекул по скоростям.

Максвелловское распределение по скоростям можно вывести несколькими различными способами. Вид его может быть, в частности, установлен на основе простых соображений, основанных на применении так называемого принципа детального равновесия. Нужно однако предварительно отметить, что утверждение типа: "Такое-то число молекул в газе имеет скорость, например, 100 м/с" – не имеет конкретного смысла. Нельзя точно указать скорость какой-либо группы молекул, но можно говорить о среднем числе молекул, скорости которых находятся в некотором малом интервале скоростей dv между значениями v и v + dv. Число (доля) этих молекул – dn(v) = nf(v)dv, где n – число молекул в единице объема. Следует напомнить, что скорость v является вектором, поэтому функция распределения f(v), имеющая смысл функции вероятности, характеризует распределение молекул как по абсолютным значениям (модулям) скоростей, так и по их направлениям. В декартовой системе координат с осями x, y, z это соответствует представлению интервала скоростей в виде dv = dvx * dvy * dvz. Если интересоваться распределением только по модулям скорости, то в сферической системе координат

dn(v) = 4p nn2f(v)dv(2.4)

Для вывода максвелловского распределения рассматриваются две группы молекул, скорости которых лежат в интервалах dv и dvi.В результате столкновений молекул первой и второй групп скорости v и vi сталкивающихся молекул изменяются и переходят в v’ и vi соответственно. Среднее число таких столкновений, называемых прямыми столкновениями, будет пропорционально dndn1 или

Соответствующие им обратные столкновения переводят молекулы из интервалов dv’ и dvi в dv и dv1 . Среднее число обратных столкновений пропорционально

(2.5)

Принцип детального равновесия состоит в том, что в состоянии хаотического движения, соответствующего тепловому равновесию, скорости прямого и обратного процессов должны быть одинаковы. В данном случае это соответствует выполнению условия

(2.6)

Можно показать, что произведения элементов объема в пространстве скоростей для прямых и обратных столкновений равны. Поэтому написанное выше условие переходит в соотношение

(2.7)

Логарифмирование этого соотношения дает

(2.8)

Полученное равенство означает, что натуральные логарифмы функции распределения являются так называемыми аддитивными инвариантами. Они могут быть выражены через линейную комбинацию величин, которые сохраняются в парных столкновениях частиц, а именно массы, импульса и кинетической энергии частиц.

(2.9)

Константы a, и c можно определить через известные макроскопические параметры газа – плотность n, скорость v0 и температуру T. Тогда в покоящемся газе (v0 = 0) максвелловское распределение по скоростям, следующее из (2.9), имеет вид

(2.10)

Используя этот результат, с помощью выражения (2.4) можно определить относительную долю молекул, абсолютные скорости которых лежат в некотором узком интервале значений dv,

(2.11)

Вид распределения dn/ndv, описываемого выражением (2.11), для двух различных температур (T2 > T1) представлен на рис. 9.

Рисунок 9

Площади под каждой кривой оказываются, очевидно, одинаковыми, что следует из нормировки на заданную плотность частиц n. Из представленного графика видно, что большинство частиц имеет скорости, близкие к некоторому среднему значению, и лишь малое их число обладает весьма высокими или низкими скоростями. С помощью распределения (2.11) могут быть рассчитаны такие характеристики как средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорость теплового движения молекул, число столкновений молекул со стенкой и другие важные параметры газа.

3. Альтернативные способы измерения

3.1 Спин

Любое вращающееся тело обладает моментом импульса относительно своего центра масс; это собственный момент тела, или спин. Спиновый момент, или просто, спин атома или атомного ядра является характеристикой, аналогичной моменту импульса вращающегося волчка или гироскопа. Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг оси, определяется как сумма моментов импульсов всех частиц этого тела относительно той же оси; этот момент равен сумме произведений массы частицы на ее скорость и на кратчайшее расстояние частицы до оси вращения. Вектор момента импульса параллелен оси вращения и направлен в сторону перемещения винта с правой резьбой при таком же вращении. Спин атомов и ядер измеряется в единицах h/2p, где h – постоянная Планка, равная 6,6261Ч10–34 ДжЧс. Экспериментально установлено, что в этих единицах (в соответствии с правилами квантовой механики) наблюдаемые проекции всех спинов на заданное направление принимают либо целое, либо полуцелое значение, т.е. либо 1, 2, 3,..., либо 1/2, 3/2, 5/2,.... Максимальное значение проекции совпадает с величиной спина; например, если спин ядра j равен 5/2, то измеренное максимальное значение проекции спина составит 5/2 в единицах h/2p ДжЧс.

3.2 Магнитный дипольный момент

. Магнитный дипольный момент атома или ядра аналогичен характеристике стрелки компаса. Он представляет собой вращающий момент, действующий на атом или ядро в магнитном поле. Дипольный момент – векторная величина. Магнитный момент атома обычно измеряют в единицах магнетона Бора, m0 = еh/4pmc = 9,27Ч10–24 Дж/Тл, где е – заряд электрона, h – постоянная Планка, m – масса электрона и c – скорость света. Магнитные же моменты ядер обычно измеряют в единицах ядерного магнетона mN, который равен магнетону Бора, деленному на отношение масс протона и электрона, а именно mN = 5,051Ч10–27 Дж/Тл.

3.3 Электрический квадрупольный момент

Электрический квадрупольный момент служит мерой отклонения распределения электрического заряда ядра от сферической симметрии. Количественно он определяется как

при условии, что проекция спина ядра максимальна вдоль оси z прямоугольной системы координат, начало которой совпадает с центром ядра. В этом выражении Z – заряд ядра, или его атомный номер, z – координата протона в ядре, r – расстояние от протона до центра ядра, а черта над выражением в скобках означает усреднение плотности заряда по всему ядру. Можно показать, что в сферически симметричном случае Q = 0.

3.4 Другие моменты

В принципе могли бы существовать электрические и магнитные мультипольные моменты любого порядка 2n, где n – нуль или положительное целое число. Например, у ядер иода, индия и галлия были измерены магнитные октуполи. Можно показать, однако, что вследствие квантовой природы спина атом или ядро со спином j не может иметь мультипольных моментов более высокого порядка, чем n = 2j. Так, атом с j = l/2 не может иметь мультипольных моментов выше дипольного, а атом с j = 0 – даже дипольного момента. Проводились необычайно чувствительные эксперименты по обнаружению у ядер электрических дипольных моментов, но пока что найти их не удалось.

3.5 Эффект Зеемана

Один из первых и наиболее мощных методов исследования атомных моментов был основан на так называемом эффекте П.Зеемана, т.е. на расщеплении спектральных линий во внешних магнитных полях. Если разрядную трубку, в которой возбуждается атомное излучение, поместить во внешнее магнитное поле, то спектральные линии расщепятся на ряд компонент. Расстояние между линиями компонент определяется энергией взаимодействия атомных моментов с внешними магнитными полями. Поскольку энергия взаимодействия зависит от магнитных моментов атомов, измеренное расщепление дает информацию об их величине. Числом спектральных линий определяются значения спина.

Первоначально при изучении оптических спектров атомов последние возбуждались за счет столкновений с электронами в газоразрядных трубках или за счет поглощения электромагнитного излучения, возникающего в таких трубках. В наши дни атомы часто возбуждают лазерным излучением.

3.6 Метод молекулярных пучков

Особенно простой, показательный и прямой метод измерения атомных магнитных моментов предложили О.Штерн и В.Герлах в 1921. Он основан на измерении отклонения атомов, обладающих магнитным моментом, в неоднородном магнитном поле. В однородном магнитном поле магнитный момент не отклоняется, т.к. на северный и южный полюса атомного магнитика поле действует с одинаковой силой. Поэтому центр масс атома не смещается; атом может лишь прецессировать или вращаться вокруг своего центра масс. Если же магнитное поле неоднородно на расстояниях порядка размеров атома, то из-за различий в напряженности магнитного поля на один из полюсов атомного магнитика поле будет действовать сильнее, чем на другой, и атом отклонится под действием разности этих сил.