Оптимизация считывания состояний джозефсоновского кубита (стр. 2 из 6)
(5)где Ic - некоторая константа (существенно зависящая от физической природы и размеров слабой связи), обычно называемая критическим током джозефсоновского перехода. Эта константа положительна, если считать ток положительным при его направлении от электрода 1 к электроду 2 (см. рис.1). Сама величина φ зависит от напряжения по закону
(6)который содержит лишь фундаментальные физические постоянные ћ и е (
Дж/Гц, 
Кл).Но в большинстве задач, связанных с динамикой джозефсоновского перехода, необходимо учитывать не только сверхток, но и другие компоненты тока через контакт. Рассмотрим их подробнее.
1. Нормальный ток IN. Если температура сверхпроводника Т не равна нулю, то энергия kT (
Дж/К - постоянная Больцмана) теплового движения вызывает разрыв некоторого числа куперовских пар и появление в образце некоторого количества неспаренных электронов. В теории сверхпроводимости такие электроны называют квазичастицами, поскольку их свойства отличаются от свойств электронов нормального металла из-за присутствия конденсата.Если напряжение на переходе равно нулю, то квазичастицы не дают вклада в ток. Однако, если фаза φ меняется во времени, и напряжение отлично от нуля, то в токе появляется квазичастичная компонента.
Если температура Т стремится снизу к критической температуре сверхпроводника Тc, то энергия связи куперовской пары стремится к нулю и становится существенно меньше тепловой энергии kT. При этом концентрация куперовских пар относительно мала, а концентрация квазичастиц (а также их свойства) такая же, как в нормальном металле. В этом случае зависимость нормального тока от напряжения при Т≈Тcблизка к омической:
(7)где GN=1/RN - нормальная проводимость джозефсоновского перехода
2. В случае, если не только напряжение V, но и производная dV/dtотличны от нуля, становится существенным ток смещения, который обычно можно представить в виде
(8)где С - емкость между электродами джозефсоновского перехода. Хотя ток IDи не протекает реально через слабый контакт, для внешней системы, в которую включен джозефсоновский переход, этот ток эффективно складывается с другими компонентами тока.
Величина емкости С значительно различается не только для разных типов переходов, но и существенно зависит от размеров контакта. Поэтому ее часто удобно характеризовать не абсолютным значением, а безразмерным параметром (параметром Маккамбера - Стюарта), показывающим силу ее влияния на процессы в переходе:
(9)Если β<<1, то говорят о джозефсоновских переходах с малой емкостью или большим затуханием, а если β>>1 - о переходах с большой емкостью или малым затуханием.
3. Джозефсоновский контакт отличается высокой чувствительностью к флуктуациям, поэтому их необходимо учитывать при решении многих задач. С нормальным током связаны флуктуации двух типов: тепловые и дробовые. Для тепловых флуктуаций выражение для спектральной плотности дается формулой Найквиста:
(10)справедливой при ћω,eV<<kT.
Силу воздействия тепловых флуктуаций на переход можно характеризовать величиной
(11)Таким образом, если критический ток контакта существенно превышает величину IT (равную ~0,3 мкА при типичной рабочей температуре Т≈4,2 К), то влияние тепловых флуктуаций на переход можно считать малым.
Если напряжение на контакте становится достаточно большим, и eV превышает kT, существенными становятся дробовые флуктуации, связанные с дискретностью заряда квазичастиц. При больших напряжениях они описываются формулой Шоттки
(12)справедливой при условии ћω,kT≤eV.
Таким образом, выражение для полного тока через контакт имеет следующий вид:
(13)Введем определения плазменной ωри характерной ωс частот:
(14), 
(15)Используя (14) и (15), равенство (13) удобно переписать в виде
(16)где i=I/IC - безразмерный ток. Что касается флуктуационного тока IF, то в данной модели, которая называется резистивной (RN=const), он обычно считается тепловым белым гауссовским шумом со следующими характеристиками:
(17)где
- безразмерная интенсивность шума.Точечный джозефсоновский контакт с малой емкостью хорошо описывается уравнением Ланжевена [2]
(18)где U (φ) =1-cosφ-iφ - безразмерный потенциальный профиль (рис.2), i=I/IС - безразмерный ток, ωС - характерная частота контакта (15), iF=IF/IC - безразмерный флуктуационный ток (17).
Рис.2. Безразмерный потенциальный профиль: пунктирная линия - i=0.5; сплошная линия - i=1.2.
1.2 Вольтамперная характеристика
Простейшей из всех электродинамических ситуаций для джозефсоновского контакта является случай протекания через него постоянного тока I (t) =I=const. Если этот ток не слишком велик, │I│<IC, то в отсутствии флуктуаций стационарное решение имеет вид
(19)Любое такое решение описывает "сверхпроводящее" или "стационарное" S-состояние джозефсоновского перехода: при протекании не слишком большого тока падение напряжения на переходе отсутствует:
(20)Факт существования S-состояния получил специальное название "стационарный эффект Джозефсона". Если же постоянный ток Iпревышает критическое значениеIC, то он, согласно формуле (5), уже не может полностью переноситься сверхтоком IS, и, следовательно, часть его должна переноситься нормальным током IN. Однако INможет быть отличен от нуля лишь при
. Таким образом, по крайней мере при │I│>ICпереход может находиться только в резистивном (R) состоянии, в котором среднее напряжение отлично от нуля, и, следовательно, происходит процесс генерации с частотой 
(21)Это явление называется "нестационарным эффектом Джозефсона" или "джозефсоновской генерацией".
У вольтамперной характеристики при │I│<ICбудет "сверхпро-водящая" или "S-ветвь", а при │I│>IC - резистивная или "R-ветвь":
при 
(22)При │I│>ICсуществуют лишь резистивные состояния.
Ограничиваясь в данном разделе случаем контактов с малой емкостью, рассмотрим следующее уравнение движения фазы:
(23)Решение ищем численным методом Хюна:
(24)где
.В отсутствии флуктуаций, R-ветвь ВАХ будет иметь гиперболическую форму (рис.3). Если же учесть флуктуации тока, то на вольтамперной характеристике при токах │I│<IСпоявляется напряжение, отличное от нуля.
Рис.3. Вольтамперная характеристика джозефсоновского контакта. Сплошная линия - без учета флуктуаций D= 0, пунктирная D=0.5
При слабом высокочастотном воздействии (амплитуда А тока, воздействующего на переход, достаточно мала) внешний сигнал с частотой
может производить захватывание (синхронизацию) джозефсоновских колебаний перехода. Это явление сопровождается появлением на ВАХ перехода горизонтального участка - "джозефсоновской ступеньки тока" - при напряжениях