Кинетические уравнения Власова (стр. 2 из 6)
Схема 2
Данная иерархия дает нам примеры захватывающих романов между математикой и различными частями естествознания. Отдельные главы этого романа будут описаны в дальнейшем. Будут изучены следующие основные подстановки в уравнение Власова.
Уравнение динамики N тел как следствие уравнения Власова: подстановка в виде суммы дельта-функций. Подстановка в виде интегралов от дельта-функций и лагранжевы координаты. Примеры: осцилляторы и антиосцилляторы, экспоненциальное разбегание, две гамильтоновы структуры. Эйлеро—Лагранжевы координаты и гидродинамическая подстановка, N-слойная и континуум-слойная гидродинамика. Примеры: расширяющаяся Вселенная, перехлесты и границы гидродинамического описания.
Энергетическая подстановка, когда функция распределения зависит только от энергии. В этом случае уравнение (2.1) удовлетворяется, а (2.2) переходит в нелинейное уравнение для потенциала. Это уравнение аналогично уравнениям Бернулли для уравнения Эйлера. И уравнения типа Власова по своей судьбе аналогичны уравнениям Эйлера: их частные случаи стали появляться раньше, чем были написаны сами уравнения Власова. При этом в той же самой энергетической подстановке, выражающей закон сохранения энергии. В приложениях это были плазменный диод (диод Ленгмюра), уравнение Дебая для электролитов и уравнение Лэна-Эмдена в гравитации. В математике такое уравнение еще раньше было изучено в геометрии и называется уравнением Лиувилля. В двумерном случае оно имеет огромную группу симметрии (конформная группа).
Глава 2 Уравнение Власова-Максвелла, Власова-Эйнштейна и Власова-Пуассона
Вторую главу диплома хотелось бы посвятить непосредственно выводу или/и обоснованию системы уравнений Власова-Максвелла. Эта системауравнений выписана А.А. Власовым в работах[4], и широко используется для описания плазмы. Уравнения Власова—Эйнштейна обосновываются аналогично, и я только коротко остановлюсь на них. Под названием уравнений Власова-Максвелла разные исследователи понимают разные уравнения. Наиболее популярно уравнение с нерелятивистской зависимостью скорости от импульса для функции распределения. Важно связать это уравнение с классическим лагранжианом, чтобы, с одной стороны, надежно иметь «правильное» уравнение, а с другой — понимать характер сделанных приближений. Далее, при выводе уравнения Власова-Максвелла будет приведён кратчайший, видимо, путь, связывая с лагранжианом электромагнетизма. Т.к. процесс вывода уравнения Власова-Максвелла является неоднозначным, то перед этим необходимо представить вспомогательные пункты. В 2.1 будет рассмотрено как обосновываются уравнения для функции распределения частиц, сдвигаемых вдоль траекторий произвольной динамической системы хi = Xi(x). А далее изучается уравнение Эйлера-Лафанжа для случая, когда действие есть длина, а также обосновывается выбор функции распределения в переменных х, р (пространство-импульсы).
2.1 Сдвиг плотности вдоль траекторий динамической системы
Рассмотрим произвольную динамическую систему, т.е. систему нелинейных дифференциальных уравнений в k-мерном пространстве:
хi = Xi(x), i = 1,…,k (1.1)
Пусть мы раскидали частицы с какой-то начальной плотностью f(0, x), а в момент времени t эта плотность есть f(t, x), так что число частиц в области G
Какова эволюция f(t, x)?
Покажем, что соответствующее уравнение имеет вид (по повторяющимся верхним и нижним индексам предполагается суммирование):
(1.2)Способ 1 . Метод
-функций.Рассмотрим функцию распределения N частиц, сдвигающихся по траекториям этой системы:
где для каждого l функция xi(t) удовлетворяет уравнениям (1.1). Тогда, дифференцируя по времени, получаем
С другой стороны, имеем
Складывая полученные выражения, находим, что уравнения (1.2) для такой функции удовлетворяются. При взятии дивергенции воспользовались формулой
Для произвольной функции f равенство (1.2) получается переходом к пределу при аппроксимации ее суммой
-функций (в слабом смысле).Способ 2 . Баланс частиц.
Скорость роста частиц в области G есть
(1.3)Это следует из того, что на малом участке границы ds количество вылетевших за время dt частиц есть f ds dt(X,n), так как все вылетевшие частицы заметают цилиндр с основанием ds и стороной X dt, а поэтому высотой (X,п) dt. Знак минус берется потому, что нормаль — внешняя, и считаются вылетевшие частицы, тогда как слева в (1.3) стоит скорость роста числа частиц в области G. Преобразуя в правой части (1.3) интеграл из поверхностного в объемный по формуле Стокса, мы получим уравнение (1.2), проинтегрированное по области G, а отсюда в силу произвольности G — и само уравнение (1.2).
Перепишем уравнение (1.2) в виде
(1.4)Если divX = 0, то левая часть (1.4) — это полная производная f(t,x) пo времени.
Вывод. Уравнение для функции распределения частиц, сдвигающихся вдоль траекторий динамической системы (1.1), имеет вид (1.2).
2.2 Уравнения геодезических и эволюция функции распределения на римановом многообразии
Рассмотрим метрику gijdxidxj в пространстве Rn, x
Rn, gij(x)-n2 функций. Это означает, что длина кривой определяется формулой: 
(2.1)а уравнение геодезических получается из принципа наименьшего действия (принципа наименьшей длины). Если, более обще, действие записывается в виде S =
dt, где L—лагранжиан, то уравнения Эйлера-Лагранжа даются варьированием с фиксированными концами траекторий: 
Получаем уравнения Эйлсра-Лагранжа:
В случае геодезических L =
имеем 
(2.2)Функционал длины инвариантен относительно замены t =
для любой гладкой функции , и то же свойство имеют уравнения (2.2).Этим свойством иногда распоряжаются так, чтобы максимально упростить уравнения. Выберем[5] в качестве параметра
длину линии (интервал, собственное время) s : ds = 
, после деления на ds получим = 1, и уравнения (2.2) превращаются в 
(2.3)Последние совпадают с уравнениями Эйлера-Лагранжа для действия с лагранжианом
Преобразуем их к виду
(2.4)Здесь gki — матрица, обратная gij а
называются символами Кристоффеля.Запишем уравнения (1.2) для функции распределения f(х, v, s) по пространству и скоростям (с длиной .s вместо времени) для уравнения (2.4), как это показано в предыдущем параграфе:
(2.5)Последний член в левой части соответствует тому, что система (2.4) имеет дивергенцию, отличную от нуля. Переход к бездивергентному виду можно осуществить двумя способами.
Способ 1 . Переход к переменным координата-импульс и гамильтонов формализм.
Введем стандартным образом импульсы.[6] Если L = (gijxixj)/2 (этот лагранжиан дает те же уравнения движения, что и (2.1)), то импульсы pi = = dL/dxi= gijxj , а гамильтониан Н = pivi — L = (pipgij)/2. Тогда уравнения (2.3) приобретают гамильтонов вид
Упражнение
Показать, что для любой гамильтоновой системы дивергенция равна нулю.
Решение
Получаем уравнения для функции распределения f(s,х,р) по координатам и импульсам (1.2) в виде
(2.6)Эго уравнение имеет вид
df/ds + {Н, f} = 0, где {Н, f} — скобка Пуассона:
Способ 2. Переход к инвариантной мере в пространстве координаты-скорости.