Теорема тейлора (стр. 2 из 3)

Пример 2. Разложить функцию f(z) = z³·e^1/z в окрестности точки z₀ = 0.

Решение.Из основного разложения

получаем

или

Вычет функции ~ Вычисление вычетов

Вычетом функцииf(z) в изолированной особой точке z₀ (точка принадлежит области комплексных чисел) называется интеграл вида:

где - контур, принадлежащий окрестности точки z₀ и охватывающий ее. Обход контура - положительный, т.е. область ограниченная им и принадлежащая окрестности z₀ при обходе расположена слева: обход против часовой стрелки.

Обозначается вычет

Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С_-1 при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z-z₀) для z₀, принадлежащей области комплексных чисел:

ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках.

Если конечная особая точка z₀ является устранимой особой точкой функции f(z), то

ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке.

Если z₀ - полюс порядка n функции f(z), z₀ принадлежит области комплексных чисел, то

ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.

Если z₀ - простой полюс функции

,
где аналитические функции в точке z₀ и ,
то

ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе.

Если z₀ - существенно особая точка функции f(z), то вычет в ней находится, исходя из определения, т.е. как С_-1 - коэффициент в разложении f(z) в ряд Лорана в окрестности z₀.

ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке.

Пример 1. Вычислить вычет функции f (z) = (z+2)/(z²-2z-3) в точке z = 3.

Решение.

Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z - 3:

Из этого разложения находим

Заметим, что здесь точка z = 3 - простой полюс.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Вычислить вычет функции f(z) в точке z = 0,

Решение.

Запишем

т.е. z= 0 - устранимая особая точка. Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3. Вычислить вычет функции

Так как

то z = 0 для f(z) - полюс второго порядка. Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 4. Вычислить вычет функции f(z) = ctg 2z во всех ее особых точках.

Решение.

В точках

данная функция имеет полюсы первого порядка (простые полюсы), поскольку

Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 5. Вычислить вычет функции

Решение.

Разложим замкнутую функцию в ряд Лорана в окрестности z = 1:

Из этого разложения следует, что z = 1 является существенной особой точкой и
С_-1 = 3/2, т.е.

Теорема о вычетах ~ Примеры

Теорема (Основная теорема о вычетах).

Если функция f(z - аналитична в

за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство

где D - односвязная область в комплексной плоскости, - граница D,
- вычет функции f(z) в точке z_k.

ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

ПРИМЕР 2. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

ПРИМЕР 3. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения exp(z) - i = 0, т.е. точки

Кругу

принадлежит только одна из этих точек, точка

Эта точка - простой полюс функции

, т.к. она является простым нулем знаменателя.

Вычислим вычет в простом полюсе f (z):

Тогда

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Единственная особая точка подынтегральной функции - существенно особая точка z = 0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования.

Вычислим вычет в существенно особой точке функции f (z):

поскольку

Тогда