Лемма 2.
Если в ненагруженном узле фермы линия действия внешней силы совпадает с осью одного стержня, то усилие в этом стержне равно по модулю внешней силе.
Лемма 3.
Если в некотором узле фермы все внешние силы и все стержни, кроме одного, лежат в одной плоскости, то усилие в стержне, не лежащем в этой плоскости, равно нулю.
При S3 = 0; усилия S4, Fи S10 лежат в одной плоскости, кроме S11. Следовательно:
S11 = 0.
Рассмотрим определение усилий в стержнях фермы по способу вырезания узлов. Сущность этого способа состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним внешние силы и реакции стержней Si и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к рассматриваемому узлу. Вначале предполагается, что все стержни растянуты, т.е. реакции стержней Si направляют от узлов. Если в результате вычислений получают ответ со знаком минус, то соответствующий стержень сжат. Найденные реакции стержней равны по модулю внутренним усилиям в стержнях.
Последовательность рассмотрения узлов определяется, обычно, условием, что число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия сил. Для пространственной фермы - три уравнения равновесия, а, следовательно, необходимо выбирать расчетные узлы из условия, чтобы в них было не более трех неизвестных.
Определим усилия в стержнях пространственной фермы, представленной на рисунку ниже, а также реакции в опорах A5, B5, C5, D5, если на узел D1 действует горизонтальная сила F, направленная вдоль стержня A1D1. Размеры указаны на рисунке. По реакциям в опорах подобрать размеры болтов из условия прочности на срез и растяжение. Материал болта - Сталь 30, [t] = 90 МПа, [s] = 180 МПа. Для определения усилий в стержнях 1 - 48 фермы воспользуемся способом вырезания узлов. Будем последовательно вырезать все узлы фермы, соблюдая требования, изложенные выше.
Hmax× 9.81 = F = 4904.46753 × 9.81 = 48112.826 Н;
M = F×2.5 = 48112.826 ×2.5 = 120282.065 Н×м;
F = F¢ = M / 3 = 120282.065/3 = 40094.022 Н.
Узел A1: 
Узел D1:
Узел C1: 
Узел B1: Выполним расчеты:
S6 = S¢6 = 0
S2 = 88206.848 Н
S5 = - S2/cosa = - 88206.848/0.707 = - 124762.16 Н
S1 = - S5× cosa = 124762.16 × 0.707 = 88206.85 H
S3 = 0
S12 = 0
S11 = - S¢5× cosa / sinb = 124762.16 × 0.707/0.707 = 124762.16 H
S4 = - F¢ - S¢5× cosa = - 40094.022 + 124762.16 × 0.707 = 48112.83 H
S10 = - S11× cosb = - 124762.16 × 0.707 = - 88206.85 H
S7 = - S¢1/sinb = - 88206.85/0.707 = - 124762.16 H
S9 = - S¢4/cosb = - 48112.83/0.707 = - 68052.09 H
S8 = - S7× cos b - S9× sinb = 124762.16 × 0.707 + 68052.09 × 0.707 =
= 88206.85 + 48112.83 = 136319.68 H
Узел A2:
Узел D2:
Узел C2:
Узел B2:
Выполним расчеты:
S14 = 0
S17 = 0
S13 = - S¢7× sinb = 124762.16 × 0.707 = 88206.85 H
S18 = S¢7× cosb = - 124762.16 × 0.707 = - 88206.85 H
S15 = - S¢11× sinb = - 124762.16 × 0.707 = - 88206.85 H
S24 = S¢11× cosb = 124762.16 × 0.707 = 88206.85 H
S23 = - S15/sinb = 88206.85/0.707 = 124762.16 H
S22 = S¢10 - S23× cosb + S¢9× sinb = - 88206.85 - 124762.16 × 0.707 -
68052.09 × 0.707 = - 88206.85 - 88206.85 - 48112.83 =
= - 224526.53 H
S19 = - S¢13/sinb = - 88206.85/0.707 = - 124762.16 H
S16 = - S¢9× cosb = 68052.09 × 0.707 = 48112.83 H
S21 = - S¢16/cosb = - 48112.83/0.707 = - 68052.09 H
S20 = S¢8 - S19× cos b - S21× sinb = 136319.68 + 124762.16 × 0.707 +
+ 68052.09 × 0.707 = 136319.68 + 88206.85 + 48112.83 =
= 272639.36 H
Узел A3:
Узел D3:
Узел C3: 
Узел B3:
Выполним расчеты:
S26 = 0
S29 = 0
S25 = - S¢19× sinb = 124762.16 × 0.707 = 88206.85 H
S30 = S¢18 + S¢19× cosb = - 88206.85 - 124762.16 × 0.707 =
= - 176413.7 H
S27 = - S¢23× sinb = - 124762.16 × 0.707 = - 88206.85 H
S36 = S¢24 + S¢23× cosb = 88206.85 + 124762.16 × 0.707 = 176413.7 H
S35 = - S27/sinb = 88206.85/0.707 = 124762.16 H
S29 = - (S27 + S35× sinb) / cosa = - (-88206.85 + 124762.16 × 0.707) /
/ 0.707 = 0
S28 = - S¢21× cosb = 68052.09 × 0.707 = 48112.83 H
S34 = S¢22 - S35× cosb + S¢21× sinb = - 224526.53 -124762.16 × 0.707 -
68052.09 × 0.707 = - 360846.21 H
S31 = - S¢25/sinb = - 88206.85/0.707 = - 124762.16 H
S33 = - S¢28/cosb = - 48112.83/0.707 = - 68052.09 H
S32 = S¢20 - S31× cos b - S33× sinb = 408959.04 H
Узел A4: 
Узел D4:
Узел C4: 
Узел B4:
Выполним расчеты:
S38 = 0
S39 = - S¢35× cosb = - 124762.16 × 0.707 = - 88206.85 H
S41 = - S38/cosb = 0/0.707 = 0
S40 = - S¢33× cosb - S¢41× cosb = 68052.09 × 0.707 = 48112.83 H
S37 = - S¢31 × cosb - S41× cosb = 124762.16 × 0.707 = 88206.85 H
S42 = S¢30 + S¢31 × cosb = - 176413.7 - 124762.16 × 0.707 =
= - 264620.55 H
S45 = - S¢40/cosb = - 48112.83/0.707 = - 68052.09 H
S43 = (-S¢37 - S45× cosb) / cosb = (-88206.85 + 68052.09 × 0.707) /
/ 0.707 = - 56710.07 H
S44 = S¢32 - S43× cosb = 408959.04 + 56710.07 × 0.707 =449053.06 H
S47 = ( - S39 - S¢41× cosb) / cosb = 124762.16 H
S46 = S¢34 + S¢33× cosb - S47× cosb = - 497165.89 H
S48 = S¢36 + S¢35× cos b = 176413.7 +124762.16 ×0.707= 264620.55 H
Узел A5:
Узел D5:
Узел C5:
Узел B5:
Выполним расчеты:
