Кинематика материальной точки (стр. 3 из 3)
Известно, что любой вектор может быть представлен как сумма трёх векторов, направленных по трём наперёд заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости.
.Здесь
– совокупность ортов, задающих направления. Она называется базисом системы отсчёта. 
– совокупность координат радиус-вектора в этом базисе. Т.к. вектор по трём избранным направлениям раскладывается однозначно, то однозначно и определение координат точки пространства.Рассмотрим операцию скалярного умножения двух векторов
и 
(например, радиус-векторов точек пространства А и В): 
=
Всего девять слагаемых. Т.к.
, то сумма диагональных элементов совсем проста: 
. Все остальные (перекрёстные члены) кроме произведения координат содержат множители типа 
.Выражение скалярного произведения
можно существенно упростить, если выбрать углы 
. В этом случае говорят, что базис системы координат ортогональный. Только в ортогональном базисе 
,т.к.
и все перекрёстные члены равны 0. Именно в силу простоты записи скалярного произведения ортогональный базис является предпочтительным.Впервые ортогональную систему координат (СК) ввёл Р. Декарт, и она называется декартовой. Только в декартовой СК
· координаты вектора являются его проекциями на соответствующую ось:
;докажем это для первой координаты:
· координаты вектора связаны с его модулем соотношением Пифагора:
,т.к.
в соответствие с выражением скалярного произведения в декартовой системе.Существуют традиционные обозначения декартовой СК.
| Ось | Обозначение координаты | Обозначение орта |
| 1 | r1=х |  |
| 2 | r2=у |  |
| 3 | r3=z |  |
Таким образом, разложение радиус-вектора в декартовой СК будет иметь вид:
.Векторную функцию движения
можно заменить тремя скалярными зависимостями, которые называются законами движения: x(t), y(t), z(t).Законы движения содержат всю информацию о движении. Т.е. если известны законы движения, то можно ответить на любой вопрос, касающийся движения материальной точки.· Скорость.
Таким образом, проекции вектора скорости равны производным соответствующих законов движения.
· Ускорение.
.Таким образом, проекции вектора ускорения равны вторым производным законов движения.
А как найти касательное и нормальное ускорения? Они являются результатом разложения вектора полного ускорения по направлениям касательной и нормали:
.Касательный орт и орт нормали являются осями двумерного ортогонального базиса. Т.е. алгебраическое значение касательного ускорения представляет собой проекцию полного ускорения на орт
: 
.Но касательный орт можно выразить через вектор скорости:
.Следовательно,
.Тогда легко получить:
.А найдя нормальное ускорение, легко найти радиус кривизны:
Заключение
Подведем некоторые итоги. Материальная точка представляет собой ключевую физическую модель. На примере этой модели рассматриваются очень многие физические явления. Описав движение материальной точки, можно затем перейти и к описанию движения твердого тела, но не наоборот.
Основными понятиями кинематики материальной точки являются понятия положения точки, ее скорости и ускорения. Но все эти понятия не имеют смысла вне системы отсчета, включающей в себя систему координат и часы.
Важнейшую роль в кинематике материальной точки играют векторная алгебра и принцип относительности движения.
Сложное движение материальной точки всегда можно разложить на составляющие, причем не однозначно: по координатам, на касательное и нормальное движение, прямолинейное и вращательное.
Литература
1. Мякишев Г.Я. Физика – 10. Механика. – М.: Дрофа. 2002.
2. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика – 10. Молекулярная физика. Термодинамика. – М.: Дрофа. 2002.
3. Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободков Б.А. Физика – 10–11. Электродинамика. – М.: Дрофа. 2002.
4. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физик – 11. Колебания и волны. – М.: Дрофа. 2002.
5. Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы. Физика. Механика. – М.: Издательство МАИ, 1996.
6. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т.1.
М.: Дрофа, 20037. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Упражнения и задачи.
М.: Дрофа, 2004.8. Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1.
Ростов н/Д: Феникс, 2002.9. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов.
М.: ООО Издательство «Мир и Образование», 2003.