Строгая постановка задачи об устойчивости движения и указание наиболее общих методов ее решения, а также конкретное рассмотрение отдельных важнейших задач теории устойчивости принадлежат А. М. Ляпунову, и изложены им в фундаментальном сочинении “Общая задача об устойчивости движения” (1892). Им было дано определение устойчивого положения равновесия, которое выглядит следующим образом: если при данном r (радиус сферы) можно выбрать такое, сколь угодно малое, но не равное нулю значение h (начальная энергия), что во все последующее время частица не выйдет за пределы сферы радиуса r , то положение равновесия в данной точке называется устойчивым. Ляпунов связал решение задачи об устойчивости с рассмотрением некоторых функций, из сопоставления знаков которых со знаками их производных по времени можно заключить об устойчивости или неустойчивости рассматриваемого состояния движения (“вторая метода Ляпунова”). С помощью этого метода Ляпунов в своих теоремах об устойчивости по первому приближению указал границы применимости метода малых колебаний материальной системы около положения ее устойчивого равновесия (впервые изложенной в “Аналитической механике” Лагранжа).
Последующее развитие теории малых колебаний в XIX в. было связано, главным образом, с учетом влияния сопротивлений, приводящих к затуханию колебаний, и внешних возмущающих сил, создающих вынужденные колебания. Теория вынужденных колебаний и учение о резонансе появились в ответ на запросы машинной техники и, в первую очередь, в связи со строительством железнодорожных мостов и созданием быстроходных паровозов. Другой важной отраслью техники, развитие которой потребовало приложения методов теории колебаний, было регуляторостроение. Основоположником современной динамики процесса регулирования является русский ученый и инженер И. А. Вышнеградский (1831 – 1895). В 1877 г. в работе “О регуляторах прямого действия” Вышнеградский впервые сформулировал известное неравенство, которому должна удовлетворять устойчиво работающая машина, снабженная регулятором.
Дальнейшее развитие теории малых колебаний было тесно связано с возникновением отдельных крупных технических проблем. Наиболее важные работы по теории качки корабля при волнении принадлежат выдающемуся советскому ученому
А.Н. Крылову, вся деятельность которого была посвящена применению современных достижений математики и механики к решению важнейших технических задач. В XX в. задачи электротехники, радиотехники, теории автоматического регулирования машин и производственных процессов, технической акустики и другие вызвали к жизни новую область науки – теорию нелинейных колебаний. Основы этой науки были заложены в трудах А. М. Ляпунова и французского математика А. Пуанкаре, а дальнейшее развитие, в результате которого образовалась новая, быстро растущая дисциплина, обязано достижениям советских ученых. К концу XIX в. выделилась особая группа механических задач – движение тел переменной массы. Основополагающая роль в создании новой области теоретической механики – динамики переменной массы – принадлежит русскому ученому И. В. Мещерскому (1859 – 1935). В 1897 г. им была опубликована фундаментальная работа “Динамика точки переменной массы”.
В XIX и начале XIX вв. были заложены основы двух важных разделов гидродинамики: динамики вязкой жидкости и газовой динамики. Гидродинамическую теорию трения создал русский ученый Н. П. Петров (1836 – 1920). Первое строгое решение задач этой области указал Н. Е. Жуковский.
К концу XIX в. механика достигла высокого уровня развития. XX в. принес глубокий критический пересмотр ряда основных положений классической механики и ознаменовался возникновением механики быстрых движений, протекающих со скоростями, близкими к скорости света. Механика быстрых движений, а также механика микрочастиц явились дальнейшими обобщениями классической механики.
Ньютонова механика сохранила за собой обширное поле деятельности в основных вопросах техники Механика в России и СССР. Механика в дореволюционной России, благодаря плодотворной научной деятельности М. В. Остроградского, Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина, А. М. Ляпунова, А. Н. Крылова и других, достигла больших успехов и оказалась в состоянии не только справиться с задачами, выдвинутыми перед ней отечественной техникой, но и способствовать развитию техники во всем мире. Трудами “отца русской авиации” Н. Е. Жуковского были заложены основы аэродинамики и авиационной науки в целом. Работы Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина имели основное значение в развитии современной гидроаэромеханики. С. А. Чаплыгину принадлежит фундаментальное исследование в области газовой динамики, указавшее на многие десятки лет вперед пути развития аэродинамики больших скоростей. Работы А. Н. Крылова по теории устойчивости качки корабля на волнении, исследования по вопросам плавучести их корпуса, теория девиации компасов поставили его в ряд основоположников современной науки о кораблестроении.
Одним из важных факторов, способствовавших развитию механики в России, явился высокий уровень преподавания ее в высшей школе. В этом отношении многое было сделано М. В. Остроградским и его последователями Наибольшее техническое значение вопросы устойчивости движения имеют в задачах теории автоматического регулирования. Выдающаяся роль в развитии теории и техники регулирования машин и производственных процессов принадлежит И. Н. Вознесенскому (1887 – 1946). Проблемы динамики твердого тела развивались главным образом в связи с теорией гироскопических явлений.
Существенных результатов достигли советские ученые в области теории упругости. Ими были проведены исследования по теории изгиба плит и общим решениям задач теории упругости, по плоской задаче теории упругости, по вариационным методам теории упругости, по строительной механике, по теории пластичности, по теории идеальной жидкости, по динамике сжимаемой жидкости и газовой динамике, по теории фильтрации движений, что способствовало быстрому развитию советской гидроаэродинамики, были развиты динамические задачи в теории упругости. Результаты первостепенной важности, полученные учеными Советского Союза по теории нелинейных колебаний, утвердили за СССР ведущую роль в этой области. Постановка, теоретическое рассмотрение и организация экспериментального изучения нелинейных колебаний составляют важную заслугу Л. И. Мандельштама (1879 – 1944) и Н. Д. Папалекси (1880 – 1947) и их школы (А. А. Андронов и другие).
Основы математического аппарата теории нелинейных колебаний заключены в работах А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре. “Предельные циклы” Пуанкаре были поставлены А. А. Андроновым (1901 – 1952) в связь с задачей о незатухающих колебаниях, названных им автоколебаниями. Наряду с методами, основанными на качественной теории дифференциальных уравнений, развилось аналитическое направление теории дифференциальных уравнений.
5. ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ МЕХАНИКИ.
К числу основных проблем современной механики систем с конечным числом степеней свободы относятся, в первую очередь, задачи теории колебаний, динамики твердого тела и теории устойчивости движения. В линейной теории колебаний важное значение имеет создание эффективных методов исследования систем с периодически изменяющимися параметрами, в частности, явления параметрического резонанса.
Для изучения движения нелинейных колебательных систем разрабатываются как аналитические методы, так и методы, основанные на качественной теории дифференциальных уравнений. Проблемы колебаний тесно переплетаются с вопросами радиотехники, автоматического регулирования и управления движениями, а также с задачами измерения, предупреждения и устранения вибраций в транспортных устройствах, машинах и строительных сооружениях. В области динамики твердого тела наибольшее внимание уделяется задачам теории колебаний и теории устойчивости движения. Эти задачи ставятся динамикой полета, динамикой корабля, теорией гироскопических систем и приборов, применяемых главным образом в аэронавигации и кораблевождении. В теории устойчивости движения на первое место выдвигается исследование “особых случаев” Ляпунова, устойчивости периодических и неустановившихся движений, причем основным орудием исследования является так называемая “вторая метода Ляпунова”.
В теории упругости наряду с задачами для тела, подчиняющегося закону Гука, наибольшее внимание привлекают вопросы пластичности и ползучести в деталях машин и сооружений, расчет устойчивости и прочности тонкостенных конструкций. Большое значение приобретает также направление, ставящее себе целью установление основных законов связи напряжений с деформациями и скоростями деформаций для моделей реальных тел (реологические модели). В тесной связи с теорией пластичности развивается механика сыпучей среды. Динамические проблемы теории упругости связывают с сейсмологией, распространением упругих и пластичных волн вдоль стержней и динамическими явлениями, возникающими при ударе Наиболее важные задачи гидроаэродинамики связаны с проблемами больших скоростей в авиации, баллистике, турбостроении и двигателестроении.
Сюда относятся, прежде всего, теоретическое определение аэродинамических характеристик тел при до-, около- и сверхзвуковых скоростях как при установившемся, так и неустановившемся движениях.
Проблемы аэродинамики больших скоростей тесно переплетаются с вопросами теплоотдачи, горения и взрывов. Изучение движений сжимаемого газа при больших скоростях предполагает основную проблему газовой динамики, а при малых скоростях связывается с задачами динамической метеорологии. Основное значение для гидроаэродинамики имеет проблема турбулентности, до сих пор еще не получившая теоретического решения. На практике продолжают пользоваться многочисленными эмпирическими и полуэмпирическими формулами.