Момент импульса и его свойства (стр. 2 из 2)

(4.109)

В силу того, что собственные функции, получающиеся в результате действия операторов сдвига, подлежат нормировке, как это уже обсуждалось в разделе 4.3.5.10., мы имеем все основания определить эти операторы с точностью до постоянного множителя, т.е. вместо (4.109) ограничимся выражением

(4.110)

4.3.8.3. Исходные уравнения для вывода всей цепочки волновых функций – уравнения аннигиляции

(4.111)

На основании формул (4.50) и (3.28) функцию можно

представить в виде

(4.112)

С учётом этого уравнение (4.111) в сферических координатах: запишется в форме

.(4.113)

Совершим очень несложные преобразования, приводя к дифференциальному уравнению для функции

:

откуда следует

(4.114)

4.3.8.4. Разделяя переменные, получаем

(4.115)

Учтём что

,

(4.116)

Интегрирование уравнения (4.116) даёт

(4.117)

где

– постоянная интегрирования, определяемая из условия нормировки. Окончательно получаем формулу для функции

(4.118)

4.3.8.5.Формула (4.118) дает лишь предельные выражения волновых функций

, отвечающие максимальному и минимальному значениям квантового числа m, а именно и , или что то же самое . Все волновые функции, соответствующие промежуточным значениям очень просто получаются последовательным действием операторов с точностью до нормировочных множителей, которые могут быть рассчитаны в каждом конкретном случае

4.3.8.6.Отметим, что мы не ставим перед собой и перед читателем задачу вывода общей формулы сферических волновых функций. Это связано, с одной стороны, с тем, что она обязательно покажется слишком перегруженной индексами и коэффициентами, к которым удобнее привыкать постепенно. С другой стороны, для практических целей редко требуются функции с большими значениями квантового числа l. В химическом обиходе встречается состояния с l= 0, 1, 2, 3, поэтому ограничимся этими значениями, (их символы см. в табл. 4.5 ).

4.3.8.7. Итак, нас будут интересовать s–, p–, d–, f– орбитали жесткого ротатора. Запишем соответствующие исходные функции

и , с точностью до постоянного множителя:

для s-состояния

и

для p- состояния

и

для d- состояния

и

для f- состояния

и

4.3.8.8.Орбиталь s –типа – лишь одна и волновая пункция

требует только нормировки. Поскольку сомножитель уже нормирован, достаточно пронормировать функцию . Выделяя из элемента конфигурационного пространства (см. рис 4.3) все сомножители, определенные на переменной , получаем

и, соответственно, нормировочное соотношение имеет вид

(4.119)

Во всех дальнейших преобразованиях следующих двух разделов будем опускать постоянные численные коэффициенты перед волновыми функциями, получающимися в результате операций сдвигов состояний над исходными функциями

– степенями синусоиды .

4.3.8.9. Квантовое число l=1 порождает три р-функции с m=1, 0, -1 т.е. орбитали с

Двум из них с отвечает Нормировочный множитель находим из соотношения

.

Откуда следует:

(4.120)

Функцию

, необходимую для полного набора р-орбиталей, можно найти, сдвигая вниз или

вверх на одно состояние

Определим нормировочный множитель

для

Интегрируя с помощью подстановки

и, следовательно полагая, получаем

, т.е.

4.3.8.10. Далее получим последовательно d-орбитали, отвечающие набору

. Соответственно

(4.121)

(4.121)

(4.122)

Отсюда получаются d-функции

; ;

.

Величины

; ; представлены в таблице 4.6.

4.3.8.11. Аналогично получается весь набор f-функций

(4.123)

Все найденные s-, р-, d- и f-орбитали сведём в таблицу 4.6.

Таблица 4.6. Сферические волновые функции

Уровень	l	m					Символ Y
s	0	0	1	1
p	1					– “ –
		0		1		– “ –
d	2					– “ –
						– “ –
		0		1		– “ –
f	3					– “ –
						– “ –
						– “ –
	0		1		– “ –