Буняковский и Остроградский были учениками французских математиков и остались верными их заветам в течение всей своей деятельности. В это время появляется Лобачевский, который исповедовал принципиально другую теоретическую основу математики. Если Буняковского можно признать человеком весьма одаренным, а Остроградского выдающимся талантом, то на трудах Лобачевского лежит печать гения.
Лобачевский.
Деятельность Лобачевского неразрывно связана с историей казанского университета, который был открыт в 1805 году. На кафедру чистой математики был приглашен Бартельс, товарищ Гаусса На кафедру прикладной математики был приглашен приват-доцент геттингенского университета Реннер, а на кафедру астрономии - известные ученые Литров и Броннер.
Н.И.Лобачевский,второй сын мелкого чиновника, родился 1 декабря в [AP1] 1792 году в Нижнем Новгороде. Когда Николаю было 7 лет, Его мать, Прасковья Ивановна, осталась одна с тремя маленькими сыновьями. И до этого жалованья отца с трудом хватало на содержание семьи; теперь она встретилась с крайней нищетой. Она перехала в Казань, где как могла подгатавливола детей к школе, и они были приняты в гимназию на казенное содержание. Николай был принят в гимназию в 1802 г., в 10-летнем возрасте. Его успехи в математике и древних языках были феноминальными. В 14 лет он был подготовлен для университета.В 1807 г. Он поступил в казанский университет, в котором емй предстаяло провести последущие 40 лет жизни - как студенту, экстраординарному профессору и, наконец, ректору. Работал он главным образом под руководством Бартельса, который очень скоро обратил внимание на выдающиеся дарования молодого человека. Лобачевскому посчастливилось больше, чем Остроградскому, и уже в 1811 году Совет университета, согласно представлению Бартельса, Литрова и Броннера, признал его магистром математики. С этого времени и начинается его научная деятельность. В 1814 году Лобачевский был назначен адбюнктом.Назначение Лабочевского экстраординарным профессором состаялось в 1816 г. В необычно молодом возрасте 23 лет. Его обязанности были многотрудными. Дополнительно к работе по математике ему поручались лекционные курсы по астраномии и физике. Он блестяще справился с порученным заданием. Это послужило поводом к еще больше нагрузке.
Среди неисчеслимых обязанностей Лабочевского с 1819 г. до смерти Александра I в 1825 г. было наблюдение за всеми учащимися Казани - от начальных школ до курсов для окончивших университет. Наблюдать полагалось воснавном за политической благонадежностью. Трудности такого неблагодарного поручения легко представить. То, что Лабочевский не потерял искреннего уважения своих коллег и привязанности всех учащихся, говорит о его административных способностях, может быть, больше, чем все его ордена и медали, которыми он любил в торжественных случаях украшать себя.
Еще в 1812 году Бартельс представил совету его работу "Теория эллиптического движения небесных тел". Лобачевским была также написана работа о решении двучленных уравнений. Но не к этим отраслям математики относятся его выдающиеся заслуги. Внимание этого глубокого мыслителя было сосредоточено на других вопросах, имеющих многовековую историю.
Как и сотни других математиков, Лобачевский заинтересовался постулатом Евклида. Дело сводится к тому, что две прямые на плоскости, одна из которых перпендикулярна секущей, а другая наклонена к ней под острым углом, необходимо должны пересечься. Но доказать эту аксиому никто не мог. Как и многие другие математики, Лобачевский начал с того, что предложил два доказательства этого постулата, но вскоре он вынужден был убедиться,что доказательства эти не выдерживают критики. Это не заставило, однако, оставить этот вопрос. Напротив, он продолжал настойчиво искать доказательство этого постулата. Как и многие из его предшественников на этом пути, Лобачевский пытался вести доказательство от противного. Иными словами, он старался доказать, что противоположное предположение должно обязательно привести к обсурду. Он допускает, следовательно, что в одной и той же плоскости перпендикуляр и наклонная к секущей могут не пересекаться. Если бы ему удалось прийти к противоречию с остальными аксиомами Евклида, то этим была бы обнаружена неправильность сделанного допущения, т.е. был бы доказан постулат Евклида. Тонко разматывая выводы из этого допущения и не позволяя себе поверить в кажущееся противоречие, Лобачевский постепенно пришел к выводу, что такого противоречия не существует. Напротив, он пришел к убеждению, что возможна другая геометрия, совершенно отличная от нашей,- геометрия, в которой сохраняются все остальные постулаты Евклида, кроме постулата о параллельных линиях, который заменяется противоположным утверждением. С нашей точки зрения эта геометрия находится в глубоком противоречии. Каждое ее положение представляется полным абсурдом, когда мы пытаемся связать ее с нашими представлениями о пространстве. Но в ней нет внутреннего противоречия между ее выводами и исходными предположениями. Лобачевский развил эту геометрию до тех же пределов, до которых доведена Евклидова геометрия. Она имеет свою тригонометрию и свою аналитическую геометрию. Именно в том обстоятельстве, что Лобачевский разрабатывал свою систему, совершенно не имея конкретных образов, на которых он мог бы проверить свои выводы, доверяя, таким образом, исключительно тонкому анализу отвлеченной мысли, и выразилась сила его гения.
12 февраля 1826 года Лобачевский изложил свои идеи на заседании физико-математического факультета казанского университета. Странные взгляды молодого математика встретили мало сочувствия среди его товарищей. Повидимому, вследствие этого Лобачевский не торопился опубликовывать их. И только через три года он издал статью, содержащую первое в печати изложение новых идей. Но его надеждам на то, что печатное изложение его открытий даст возможность математикам с ними познакомиться и вызовет их сочувствие, не суждено было осуществиться. Надо сказать, что в этом отношении значительная доля вины падает и на самого Лобачевского. Своеобразные идеи требовали особенно тщательного и ясного изложения. Между тем, эта теория была изложена чрезвычайно сжато и статья читалась очень трудно. Появление ее вызвало резкие отклики в печати. Среди решительных противников Лобачевского был и Остроградский. Желая, однако, добиться признания своих твориний, Лобачевский опубликовал на эту тему ряд сочинений, в которых он изложил новую геометрию с исчерпывающей полнотой. Однако, в 1837 году в популярном в то время журнале "Сын Отечества" появилась анонимная статья, называющая работы Лобачевского сплошной нелепостью. Возражение же его не было напечатано. Многие полагают, что эта статья принадлежала Остроградскому. В 1837 году Лобачевский перевел свои работы на французский язык, а в 1840 - на немецкий. На этот раз статьи не прошли незамеченными. Их прочитал Гаусс и в письмах к своим друзьям отзывался о них восторженно. Но он остался верен своему решению не высказываться печатно о новой геометрии. О его взглядах на работы лобачевского были осведомлены лишь весьма немногие люди. Правда, в 1842 году Лобачевский по инициативе Гаусса был избран членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества и Гаусс лично написал Лобачевскому об этом избрании. Однако, в этом письме он ничего не сказал о своем отношении к этому предмету. Гауссу нельзя не поставить в упрек, что по его вине жизнь Лобачевского превратилась в глубокую трагедию. Современник Лобачевского, венгерский математик Болье, сын старого друга Гаусса, пришел к той же геометрии независимо от Лобачевского и опубликовал ее в приложениях к сочинению своего отца. Но то же отношение Гаусса довело Болье до глубокого отчаяния.
Какой же вывод вытекает из работ Лобачевского прежде всего относительно Евклидова постулата? Если бы постулат удалось доказать, то это свидетельствовало бы, что противоположное постулату допущение несовместимо с остальными посылками Евклида и находится с ними в противоречии. Если же такого противоречия нет, если противоположное допущение в совокупности с остальными постулатами Евклида приводит к системе логически столь же правильной, что и геометрия Евклида, то отсюда следует, что доказать знаменитый постулат невозможно. Конечно, чтобы это утверждение не вызывало никаких сомнений, его нужно тщательно обосновать, что в наше время уже осуществлено.
Когда скончался Гаусс и была опубликована его переписка с друзьями, то на работы Лобачевского и Болье ввиду содержащихся о них восторженных отзывов было обращено внимание. Перед читателями, вникшими в труды этих гениальных людей, открылся целый новый мир, произведший полный переворот в наших воззрениях на сущность геометрических аксиом, на источники их познания, на методы обоснования геометрии. Литература по этому предмету быстро разрослась и трудами талантливых учеников и последователей Лобачевского и Болье те темные стороны вопроса, которые так затрудняли понимание новых идей, были выяснены, а результаты этих исследований широко развиты.