Колебания с несколькими степенями свободы. Краткие сведения из теории (стр. 2 из 2)
Что касается второй формы собственных колебаний, то необходимо удовлетворить условие ортогональности, а именно:
(9.8)где y1i– ординаты точек, в которых расположены массы Mi, соответствующие первой форме, а y2i - соответствующие второй.
Для определения следующих высших форм ординаты должны аналогично удовлетворять условию ортогональности по отношению ко всем предыдущим формам собственных колебаний.
Разложение заданной внешней нагрузки по формам собственных колебаний следует понимать так, что заданная нагрузка представляется состоящей из нескольких групп, подобранных с таким расчетом, что от действия каждой группы статическая изогнутая ось системы будет по своей форме соответствовать ранее найденной одной из форм собственных колебаний.
Эффективным методом определения частот свободных колебаний является графоаналитический метод, разработанный А.Ф. Смирновым. Этот метод, использующий теорию матриц, является одним из наиболее мощных инструментов для решения задач динамики с использованием ЭВМ.
Уравнение частот записывается в следующем виде:
(9.9)
Причем после нахождения характеристических чисел λ частоты собственных колебаний определяется выражением
В определителе (9.9) Е- единичная диагональная матрица, матрица С определяется матричным произведение:
(9.10)где Lm– матрица влияния моментов в заданной системе, т.е. матрица, каждый столбец которой определяет значения моментов во всех точках приложения масс от действия единичной силы в соответствующей точке балке;
- матрица влияния моментов в фиктивной балке. В случае балки с шарнирно опертыми краями фиктивная балка совпадает с заданной; В – матрица упругих грузов, определяемая выражением (3.8); М* - диагональная матрица, определяемая значениями масс, приложенных в разных точках, причем: 
где m0 – некоторая произвольная масса.
Отыскание характеристических чисел определителя может быть произведено методом итераций или любым иным эффективным методом.
Необходимо, однако, подчеркнуть, что определение частот колебаний можно провести, не прибегая даже к понятию определителя. В данном случае достаточно рассмотреть матрицу С-λЕ и вычислить ее собственные числа и соответствующие им собственные векторы любым прямым методом: методом Якоби, методом понижения или методом исчерпания в сочетании с методом итераций.