Моделирование тепловых процессов при наплавке порошковой проволокой (стр. 8 из 17)
Сопротивление элементарного участка оболочки порошковой проволоки dlбудет равно:
Для упрощения расчетов положим, что Т0=0 и не будем учитывать потери тепла боковой поверхностью порошковой проволоки. Тогда коэффициент Соб вычисляется по формуле:
Соб = 1/b.
Подставляя значение Тоб из (2.48), с учетом допущений получим:
(2.49)Чтобы получить величину сопротивления участка подогрева вылета длиной Lн, нужно проинтегрировать выражение (2.49) в пределах от 0 до Lн.
Имеем:
; 
. (2.50)Мы получили зависимость сопротивления участка нагрева оболочки порошковой проволоки от n, Lни A, который, в свою очередь, зависит от плотности тока нагрева.
Используя правило Лопиталя, упростим выражение (2.50). Имеем:
После упрощения получим
. (2.51)Учитывая, что:
это относительная безразмерная температура оболочки порошковой проволоки, то:
,где
- безразмерная скорость нагрева оболочки порошковой проволоки (критерий Предводителева) на участке подогрева; 
- безразмерное время нагрева оболочки порошковой проволоки (критерий Фурье) на участке подогрева.Тогда:
. (2.52)Нами получена формула для расчета сопротивления участка подогрева оболочки порошковой проволоки по технологическим данным: Lн и безразмерной температуре подогрева:
. (2.53)Зная Lни скорость подачи (плавления) проволоки n можно вычислить ток подогрева Iн из условия равенства тепловой и электрической мощностей.
Мощность, выделенная на участке подогрева оболочкой, равна мощности, поглощенной порошковой проволокой.
Это условие можно записать так:
.Подставляя в это уравнение Rн из (2.52), получим:
.Откуда можно найти скорость подачи проволоки:
(2.54)или плотность тока подогрева:
. (2.55)Можно сделать также расчет параметров подогрева и источника подогрева по заданным величинам: n, Tоб=Tн, неравномерности нагрева сердечника и оболочки проволоки m, физическим свойствам порошковой проволоки (с0, сс, Кс, b, r0, g0).
Этап 1. По формуле (2.53) вычислить Qн, а также величины:
, 
,где сп - приведенная теплоемкость порошковой проволоки;
М - характеристика теплопроводности сердечника порошковой проволоки.
Этап 2. Задаваясь начальным значением Lн, определить jн, а затем рассчитать
.Этап 3. По заданной температуре Qн, рассчитанному коэффициенту А и полученному Pdн определить необходимое время нагрева:
; 
. (2.56)Этап 4. Рассчитать длину участка нагрева:
. (2.57)Этап 5. Этапы 2 - 4 повторять до совпадения полученных на этапах 2 и 4 длин участка подогрева Lн.
Этап 6. Рассчитать Rн, по формуле (2.52).
Этап 7. По величинам Rн, и Iн рассчитать параметры источника подогрева:
падение напряжения на участке подогрева
. (2.58)рабочее напряжение
,где Uk- падение напряжения на подвижном контакте;
рабочую мощность источника подогрева
.2.4.3 Исследование теплового состояния сердечника подогреваемой на вылете порошковой проволоки
Выполним анализ теплового состояния сердечника подогреваемой порошковой проволоки. Поставим задачу в общем виде. Заданы параметры подогрева и ток наплавки. Необходимо определить температуру в любой точке сердечника на любом участке вылета порошковой проволоки.
Имеем
(2.59)где tн - время подогрева; tв - общее время нагрева вылета порошковой проволоки. Требуется найти температуру сердечника Тс (t, r). Решение выполним в безразмерных критериях (2.14) - (2.17). Уравнение теплопроводности примет вид (2.18). Решение этого уравнения на участке подогрева tÎ [0, tн] (т.е. F0Î [0, F0н]) проводится аналогично решению для удлиненного вылета. В итоге получим:
. (2.60)Теперь на вылете меняются краевые условия. Начальная температура сердечника порошковой проволоки будет равна:
. (2.61)Граничные условия будут иметь вид:
; (2.62) 
; (2.63) 
(2.64)Решение уравнения (2.18) с краевыми условиями (2.61) - (2.64) будем искать в виде:
. (2.65)Общее решение
уравнения (2.18) представим в виде: 
. (2.66)Подстановка функции (2.66) в уравнение (2.18) дает:
; 
.Откуда получим:
. (2.67)Уравнение (2.67) аналогично уравнению (2.24).
Следовательно, его решением будет функция f (h), удовлетворяющая граничному условию (2.62) и условию ограниченности (2.63), которая запишется в виде:
. (2.68)Тогда общее решение уравнения теплопроводности (2.18) с краевыми условиями (2.61) - (2.64) примет вид:
. (2.69)Частное решение уравнения (2.18) будем искать в виде:
,где
. (2.70)Используя начальные условия (2.61), подставим его в (2.70) и получим:
(2.71)Поскольку отыскивается n-ый коэффициент разложения в бесконечный ряд, формулу (2.71) можно представить в виде:
(2.72)Найдем в выражении (2.72) значение интеграла. Получим:
(2.73)Найдем каждый интеграл из суммы (2.73), пользуясь формулами (2.32)
(2.74)Аналогично вычисляем второй интеграл суммы (2.73):
. (2.75)Для третьего интеграла имеем:
(2.76)Учитывая, что:
,получим:
Подставляя последнее выражение в формулу (2.76), получим:
(2.77)Итак, формула (2.72) для расчета коэффициента Вn принимает вид:
(2.78)Подставляя (2.78) в формулу для расчета частного решения V (F0,h), получим:
