Моделювання задач масового обслуговування ЕОМ (стр. 2 из 12)

- одноканальні замкнуті (потік вимог Пуассоновський) – з очікуванням.

Усі ці системи можуть бути досліджені аналітичними методами, побудованими на основі представлення процесу формування системи як марковського процесу з неперервнім часом та детермінованим станом.

1.1.2.1 Задача аналізу детермінованої системи

а) Постановка задачі.

Нехай досліджується виробничий процес, в котрому надходження вимог відбувається через рівні проміжки часу.

Таким чином:

, тобто інтенсивність потоку надходження вимог , котра дорівнює також є const, і обслуговування проводиться через рівні проміжки часу (інтенсивність обслуговування також є const). Є один канал обслуговування, та вважається, що , (інакше черга буде безкінечно зростати)

Вважаємо також, що на початок обслуговування в системі уже знаходиться n вимог, і необхідно визначити, через який час черга зникне:

- називається коефіцієнтом використання.

Черга буде безкінечно зростати, якщо

, якщо він дорівнює одиниці, то черга буде мати постійну довжину. Схематично робота системи масового обслуговування що розглядається представляється наступним чином (рисунок 1.2):

вхідний потік вимог черга канал вихідний потік вимог

обслуговування

Рисунок 1.2

Поки обслуговується черга з n вимог, протягом часу

знову поступає на обслуговування перших вимог

Аналогічно поки будуть обслуговуватися

вимог протягом часу додатково надійдуть на обслуговування вимог.

,

це відбувається до тих пір, поки не буде виконуватись рівність

, після чого черга зникне.

Весь процес функціонування системи масового обслуговування можна представити в аналітичному вигляді.

Час, через котрий черга зникне, можна навіть представити у вигляді:

б) Дослідження математичної моделі.

Для обчислення часу, через який черга зникне необхідно розкрити математичну модель, а саме:

В моделі використана формула суми геометричної прогресії. Чим ближче інтенсивність потоку

до інтенсивності обслуговування , тим через більший проміжок часу зникне черга. Якщо величиною можна знехтувати для спрощення, тоді можемо записати, що

1.1.2.2 Задача аналізу розімкнутої системи з очікуванням (потоки вимог Пуасоновські)

а) Постановка задачі.

Нехай дана деяка система масового обслуговування, для котрої справедливі наступні гіпотези:

1) ймовірність надходження вимог не залежить від прийнятого початку відліку часу, а залежить тільки від часу періоду спостереження (потік стаціонарний)

2) не надходять до систему і не покидають її одночасно 2 чи більше вимог (потік стаціонарний)

3) надходження однієї вимоги не залежить від надходження іншої (відсутність післядії). Відомі також інтенсивність

надходження потоків вимог (середнє число обслуговування за одиницю часу - ). Потрібно визначити основні характеристики системи, а саме:

- P – ймовірність простою каналу обслуговування

-

- ймовірність того, що в системі знаходяться n-вимог

-

- середнє число вимог, що знаходяться в системі

-

- середнє число вимог, що знаходяться в черзі

-

- середній час очікування вимог в системі.

Потік вимог, що володіє якостями стаціонарності, ординарності та відсутністю післядії, називають простішим. В нашій задачі потік вимог простіший. Основним поняттям при аналізі процесу системи масового обслуговування є стан системи. Знаючи стан системи можна передбачити у ймовірностному сенсі її поведінку. Простіший потік – це стаціонарний Пуасоновський потік. Якщо всі потоки подій, що переводять систему із одного стану до іншого являються Пуасоновськими, то для цих системи ймовірність стану описується за допомогою систем звичайних диференційних рівнянь. В більшості задач не прикладного характеру заміна неПуасоновського потоку подій Пуасоновським з тими ж інтенсивностями призводить до отримання рішення, котре мало відрізняються від істинного, а іноді і зовсім не відрізняється. В якості критерію відмінності реального стаціонарного потоку від Пуасоновського можна розглядати близькість математичного очікування числа дисперсій подій, що надходять на визначеній ділянці часу в реальному потоці.

Існує визначений математичний прийом, що значно полегшує вивід диференційного рівняння для ймовірностного стану. Спочатку будується розмічений граф стану з показом можливих переходів. Це полегшує дослідження та робить його більш наглядним. Граф стану, на котрому проставлені не тільки стрілки переходів, але й інтенсивність відповідних потоків подій називають розміченим.

Закреслимо розмічений граф стану одноканальної розімкнутої системи масового обслуговування з очікуванням (рисунок 1.3):

........