Градиентный метод первого порядка (стр. 6 из 11)
Таблица 1.2
| Номер опыта | фиктивный столбец | Значения факторов в безразмерной системе координат | Выход | |||
| U0 | U1 | U2 | … | Un | У | |
| 1 | +1 | +1 | +1 | … | +1 | У1 |
| 2 | +1 | -1 | +1 | … | +1 | У2 |
| ... | … | … | … | … | …. | … |
| N | +1 | -1 | -1 | … | -1 | УN |
5. Приведём полную матрицу планирования (Табл. 1.3.):
Таблица 1.3
| Номер опыта | Значения факторов | Выход | ||||||||
| В натуральном масштабе | В безразмернойсистеме координат | |||||||||
| X1 | X2 | … | Xn | U 0 | U1 | U2 | … | Un | Y | |
| 1 | X11 | X12 | … | X1n | +1 | +1 | +1 | … | +1 | Y1 |
| 2 | X21 | X22 | … | X2n | +1 | -1 | +1 | … | +1 | Y2 |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| N | XN1 | X N2 | … | XNn | +1 | -1 | -1 | … | -1 | YN |
Предложенный план эксперимента обладает следующими свойствами:
Свойство симметричности.
;Свойство нормировки.
;Свойство ортогональности.
, ( l 
j , l,i = 1…k );Следует отметить, что ортогональные планы полный факторный эксперимент ( для линейных моделей ) обладают также рототабельностью. Последнее предполагает равенство и минимальность дисперсий предсказанных значений выходной переменной для всех точек факторного пространства. По закону накопления ошибок для дисперсии предсказанных уравнением регрессии значений выходной переменной можно записать:
s2y= s2b0 + s2b1U12 + … + s2bnUn2
Дисперсии коэффициентов регрессии равны между собою, поэтому
s2y= s2bi 
С учетом того, что
,
Где
- радиус сферы имеемs2y= s2 bi 
.
Отсюда ясно, что дисперсия предсказанного значения выходной переменной зависит только от радиуса сферы. Это свойство рототабельности эквивалентно независимости дисперсии выходной переменной от вращения координат в центре плана и оправдано при поиске оптимума градиентными методами. Интуитивно понятно, что исследователю удобно иметь дело с такой информацией, содержащейся в уравнении регрессии, которая равномерно «размазана» по сфере радиусом
. Действительно такое положение можно признать разумным, ибо с помощью уравнения регрессии будут предприниматься попытки предсказать положение ещё неизвестных участков факторного пространства. Равноценность этих участков в смысле ошибки предсказания, по-видимому, является необходимой.Свойство ортогональности существенно облегчает процесс вычисления коэффициентов, так как корреляционная матрица (UТU)-1 становится диагональной, и коэффициенты будут равны 1/N;
6. С учетом свойства ортогональности можно вычислить вектор В коэффициентов регрессии:
Следовательно, любой коэффициент уравнения регрессии bj определяется скалярным произведением столбца Y на соответствующий столбец Uj, деленным на число опытов N в матрице планирования:
Вычислим коэффициенты регрессии линейного уравнения :
Если в рассмотрение ввести более полное уравнение регрессии с коэффициентами взаимодействия Р, то используя процедуру метода наименьших квадратов , получим:
.
Пользуясь планом, представленным в табл. 1.2, можно перечислить коэффициенты регрессии и записать в табл.1.4:
Y= Р0 + Р1U1 + Р2U2 + … + РnUn+ … +
+…+P13U1U3 + P23U2U3+…+ P123U1U2U3…
Таблица 1.4
| Номер опыта | U0 | U1 | U2 | … | Un | … |  |  |  | … | У |
| 1 | +1 | +1 | +1 | … | +1 | … | -1 | +1 | +1 | … | У1 |
| 2 | +1 | -1 | +1 | … | +1 | … | -1 | -1 | +1 | … | У2 |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| N | +1 | -1 | -1 | … | -1 | … | -1 | +1 | +1 | … | УN |
P12, P23 - эффекты двойного взаимодействия, а P123 - эффекты тройного взаимодействия. Эффекты взаимодействия определяют аналогично линейным эффектам:
.7. Проверка однородности дисперсии и значимости коэффициентов регрессии.
Если дополнительно поставить параллельные опыты, можно определить s2воспр - дисперсию воспроизводимости, проверить значимость коэффициентов регрессии, а при наличии степеней свободы – адекватность уравнения.
В связи с тем, что корреляционная матрица (U*U)-1 для спланированного эксперимента есть матрица диагональная
,коэффициенты уравнения регрессии некоррелированы между собой. Значимость коэффициентов уравнения регрессии можно проверять для каждого коэффициента в отдельности, пользуясь критерием Стьюдента :
. Исключение из уравнения регрессии незначимого коэффициента не скажется на значениях остальных коэффициентов. При этом выборочные коэффициенты bj оказываются так называемыми несмешанными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов βj:bj 
βj, т. е. величины коэффициентов уравнения регрессии характеризуют вклад каждого фактора в величину y.
Диагональные элементы корреляционной матрицы равны между собой, поэтому все коэффициенты уравнений
Y =
и Y = Р0 + Р1U1 + Р2U2 + … + РnUn+ … ++ … +
oпределяются с одинаковой точностью:
sbj= s2воспр 
8. Проверка адекватности уравнения
Проверка адекватности уравнения проводится по критерию Фишера:
Рассчитывается значение
F= s2ост/ s2воспр ; s2ост
,где m - число значимых коэффициентов в уравнении регрессии.
2. После проведения полного факторного эксперимента определены коэффициенты регрессии
Тогда частные производные будут пропорциональны
.3. Делая, с учетом последнего выражения, шаг в сторону, противоположную среднему, определяем новую точку
и опять проводим эксперимент.4. Повторяем первые три шага, пока не приблизимся к точке экстремума. При приближении к точке экстремума алгоритм начинает работать плохо при близости к нулю частных производных, то есть линейная модель становится неадекватной и требует введения квадратичных членов.
По условию дано:
