Градиентный метод первого порядка (стр. 7 из 11)
, T = 20, U(t) = 15 – 0.1t,
.Уравнение выхода системы:
, 
, 
.Значение параметров системы:
, 
.Характер помехи и ее статистические параметры:
.Здесь
- вектор состояния системы; 
- вектор наблюдения; 
- вектор помехи; А, В, С – матрицы коэффициентов (параметров) системы; [0, T] – интервал определения системы.Необходимо
- составить в соответствии с математическим ожиданием системы ее имитационную модель для формирования реализации вектора и состояния системы на интервале определения;
- составить алгоритм и программу решения задачи построения динамической модели в соответствии с заданным типом модели методом идентификации и точностью решения задачи;
- отладить программу;
- провести расчеты и анализ полученных результатов.
Построение математической модели
Учитывая характер помехи можно составить следующую имитационную модель системы для формирования реализации вектора и состояния системы на интервале определения:
, 
, 
; 
.
Здесь
- вектор состояния системы; 
- вектор состояния модели; 
- матрицы коэффициентов модели. , T = 20, U(t) = 15 – 0.1t, .Здесь [0, T] – интервал определения системы.
Уравнение выхода системы:
, , .Здесь
- вектор наблюдения; 
- вектор помехи; С – матрица коэффициентов (параметров) системы.Значение параметров системы:
, 
.Здесь А, В – матрицы коэффициентов (параметров) системы.
Характер помехи и ее статистические параметры:
Помеха имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным
.Алгоритм реализации решения задачи построения динамической модели
Идея построения требуемой динамической системы состоит в следующем: для заданного значения параметра tс его интервала определения градиентным методом первого порядка находим соответствующее значение параметра x, который изменяется динамически. Поэтому необходимо в каждый момент ti найти оптимальное соответствующее значение фактора х и функции отклика у, которые наиболее близко описывали бы исходную систему. Помеха имеет нормальное распределение, поэтому включаем ее в функцию отклика таким образом, как показано в выше предложенных формулах.
Для поиска решения необходимо рассчитать оптимальный шаг
.Это делается по выше указанной формуле ( 6 ) – поиск шага варьирования. Именно так и реализуем в программном решении данной задачи.
Для поиска оптимального решения используем матрицы коэффициентов модели
, с помощью которых определяем соответствующее значение функции отклика. Все выше сказанное реализовано в предлагаемой программе, в которой реализовано решение задачи построения динамической модели в соответствии с заданным типом модели методом идентификации и точностью решения задачи. Программа отлажена на упрощенных тестовых примерах с использованием информации, полученной от имитационной тестовой модели.Проведен анализ полученных результатов, что также отражено в предложенной программе.
Апробирование машинной программы
Как было отмечено ранее, в данной программе кроме ручного ввода исходных значений факторов Х (т. е. задание так называемой «нулевой точки») существует задание количества факторов и количества опытов, как по умолчанию, так и непосредственно пользователем.
Программа исследований программного эксперимента:
Решает задачу оптимизации поверхности отклика. В начале работы требуется задать значения функции отклика Y, для которых и будет найдены соответствующие значения факторов X, при которых функция отклика принимает максимальное значение.
1.Задаем количество факторов и экспериментов
Получаем значения факторов в натуральном масштабе, заполняем матрицу планирования.
2.Производим кодирование в безразмерной системе координат, для каждого фактора определяются нулевые уровни и интервалы варьирования. Они будут использованы для определения градиента в данной точке.
3.Получаем значения коэффициентов регрессии.
4.Считаем выборочные дисперсии, и если они однородны, выводим значение дисперсии воспроизводимости
5.Проверяем на значимость коэффициенты регрессии.
В данном случае все коэффициенты значимы.
6. Получаем информацию о том, описывает ли уравнение эксперимент адекватно.
7. Делаем шаг в сторону, противоположную градиенту и находим новую точку (набор факторов).
8. Для нового набора переходим к шагу 2. Выполняем указанные действия до тех пор, пока не приблизимся к точке экстремума, на что указывает убыль последующих значений функции отклика.
Результаты работы программы
Матрица значений функции отклика системы:
.Матрица помех:
.Найденные значения факторов, про которых функция отклика принимает максимальное значение:
Вывод
В данном курсовом проекте рассматривался градиентный метод первого порядка, в качестве ядра которого использовался полный факторный эксперимент первого порядка, что предполагает такое проведение исследований, которое позволяет некоторым оптимальным образом получить информацию об объекте, оформить её в виде полиномиальной линейной модели и провести её статистический анализ. Так же в работе был составлен алгоритм моделирования , на основе которого была написана программа для проведения исследований градиентным методом.
Список литературы
1. Ю.П. Зайченко. Исследование операций. “Вища школа”. Киев 1988.
2. А.Г. Бондарь, Г.А. Статюха, Т. В. Землянкин , И.А. Потяженко. Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической технологии. “Вища школа”. Киев 1980.
3. В.В. Кафаров. Методы кибернетики в химии и химической технологии. Москва. «Химия». 1985.
4. А.В. Бондаренко, Г.А. Статюха. Планирование эксперимента в химической технологии. “Вища школа”. Киев 1976.
5. А. Кофман, Р. Крюон “Массовое обслуживание. Теория и приложения”.
6. Е.С. Венцель “Исследование операций”.
Листингпрограммы
unit MainUnit;
interface
uses Windows,Classes,Graphics,SysUtils,StdCtrls,Math,Grids, ListControl,
Forms;
type
SelType = (stNONE,stPOINT,stCON); // Типтекущегоэлемента
PPoint = ^TPoint;
TPoint = record
UIN : integer;
Value : integer;
X,Y : integer;
end;
PConnection = ^TConnection;
TConnection = record
toPoint : PPoint;
fromPoint : PPoint;
Value : integer;
end;
CurElement = record
ceType : SelType;
element : pointer;
end;
TGraph = class
private
WasChanged : boolean;
ChangedAfter : boolean;
PointRadius : integer;
MaxUIN : integer;
Points : TList;
Connections : TList;
Selected,Current : CurElement;
function CheckCicle(FP,TP:PPoint):boolean;
function MouseOverPoint(X,Y:integer):PPoint;
function MouseOverConnection(X,Y:integer):PConnection;
procedure
DrawConnections(C:TCanvas;minW,minH,maxW,maxH:integer);
procedure DrawPoints(C:TCanvas;minW,minH,maxW,maxH:integer);
procedure Clear;
public
constructor Create;
destructor Destroy;override;
function MouseOver(X,Y:integer):CurElement;