Прийняття рішень в умовах ризику (стр. 10 из 10)
В даному випадку v1 і v2- оцінки брокера "сприятливий" і "несприятливий", а m1m2 і m3 представляють зміну в майбутніх цінах: відповідно "пониження", "такі ж", "підвищення".
Знайдіть оптимальне рішення задачі.
Рішення
Необхідно обчислити апостеріорну вірогідність P{mi|vj}. Ця апостеріорна вірогідність обчислюється з урахуванням додаткової інформації, що міститься в рекомендаціях друга, за допомогою наступних дій.
Крок 1. Умовну вірогідність P{vj|mi} для даної задачі запишемо таким чином.
| v1 | v2 | |
| m1 | 0,15 | 0,85 |
| m2 | 0,5 | 0,5 |
| m3 | 0,85 | 0,15 |
P{vj|mi}=
Крок 2. Обчислюємо вірогідність сумісної появи подій.
При заданій апріорній вірогідності P{m1}=0.25, Р{m2}=0,3 і Р{m3}=0.45 вірогідності сумісної появи подій визначаються множенням першого і другого рядків таблиці, одержаної на кроці 1, на 0.6 і 0.4 відповідно. В результаті маємо наступне.
| v1 | v2 | |
| m1 | 0,0375 | 0,2125 |
| m2 | 0,15 | 0,15 |
| m3 | 0,3825 | 0,0675 |
P{vj|mi}=
Сума всіх елементів цієї таблиці рівна 1.
Крок 3. Обчислюємо абсолютну вірогідність.
Ця вірогідність виходить шляхом підсумовування елементів відповідних стовпців таблиці, одержаної на кроці 2. У результаті маємо наступне.
| P{v1} | P{v2} |
| 0,57 | 0,43 |
Крок 4. Визначаємо шукану апостеріорну вірогідність по формулі
Ця вірогідність обчислюється в результаті розподілу кожного стовпця таблиці, одержаної на кроці 2, на елемент відповідного стовпця таблиці, обчисленої на кроці 3, що приводить до наступних результатів (закругленим до трьох десяткових знаків).
| v1 | v2 | |
| m1 | 0,0657 | 0,4942 |
| m2 | 0,2631 | 0,3488 |
| m3 | 0,6711 | 0,1569 |
P{vj|mi}=
Тепер можна оцінити альтернативні рішення, засновані на очікуваних платежах.
Дохід від кукурудзи = 30000×0,671-35000×0,0657=20130-2302,63грн.
Дохід від бобів = 10000×0,1569-5000×0,4942=1569,7-2470,93=901,23грн.
Дохід від пасовища = 7500грн.
Отже Олександру краще вирощувати кукурудзу.
Завдання 4
Електроенергетична компанія використовує парк з 20 вантажних автомобілів для обслуговування електричної мережі. Компанія планує періодичний профілактичний ремонт автомобілів. Вірогідність pt поломки автомобіля після закінчення t місяців після профілактичного ремонту оцінюється таким чином.
Таблиця 2.
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ≥10 |
| pt | 0.05 | 0.07 | 0.1 | 0.13 | 0.18 | 0.23 | 0.33 | 0.43 | 0.5 | 0.55 |
Випадкова поломка одного вантажного автомобіля обходиться компанії в 200 доларів, а планований профілактичний ремонт в 50 доларів. Необхідно визначити оптимальний період (у місяцях) між планованими профілактичними ремонтами. Позначимо через N шукане число місяців між профілактичними ремонтами. Впродовж N-місячного циклу можуть мати місце два види витрат:
1) витрати, пов'язані з усуненням поломки автомобіля впродовж перших N-1 місяців;
2) витрати на профілактичний ремонт в кінці циклу.
Витрати другого вигляду (профілактичний ремонт) складають $50х20 автомобілів, тобто 1000 доларів на цикл. Витрати, пов'язані з усуненням поломок автомобілів, повинні ґрунтуватися на середній кількості автомобілів, що вийшли з ладу впродовж перших N-1 місяців циклу. Тут ми маємо два стани після закінчення місяця t: поломка автомобіля з вірогідністю pt і її відсутність з вірогідністю 1-pt. Отже, очікуване число поломок після закінчення місяця t рівне кількості автомашин в парку, помноженому на pt, тобто 20pt. Використовуючи цей результат, підрахуємо очікуване загальне число автомобілів, що зламалися, впродовж перших N-1 місяців циклу у вигляді суми відповідних величин для кожного місяця окремо, тобто
Позначивши через ЄС(N) загальну очікувану вартість для циклу між профілактичними ремонтами, маємо наступне.
.
Задача вибору рішення компанією зводиться таким чином до визначення довжини циклу N, яка мінімізує загальні очікувані витрати за один місяць ECPM(N).
Мінімізацію функції ECPM(N) не можна виконати в явній формі. Натомість використовується наступна таблична форма знаходження рішення.
Таблиця 3.
| N | pi |  | ECPM(N) | |
| 1 | 0.05 | 0 | 1000 | |
| Оптимальне N → | 2 | 0.07 | 0.05 | 600 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | 493.33 | |
| 4 | 0.13 | 0.22 | 470 | |
| 5 | 0.18 | 0.35 | 480 | |
| 6 | 0.23 | 0.53 | 520 |
Обчислення показують, що ECPM(N) досягає свого мінімуму при N-4. Отже, профілактичний ремонт автомобілів потрібно виконувати раз у чотири місяця.
Використана література
1.Уткин Е.А., “Ризик-менеджмент”, Москва, 1998.
2.Таха Х.А., “Введение в исследование операций”, Університет Арканзаса, Фейетвілл, 2001.