4.3.2. Кинематическая пара с вращательным движением звеньев.
Звенья вращаются вокруг осей O1 и O2, контактируя в точке K (рис. 4.4) .
Чтобы определить положение мгновенной оси, условно останавливают одно из звеньев, например звено 1, придавая ему и всем остальным скорость - (omega1) . Скорость звена 2 Omega = omega2 - omega1 определит относительное движение, а скорость вращения линии O1O2 (т.е. стойки) - (omega1) - переносное. В соответствии с (3.8) мгновенная ось находится в точке Р, для которой O1P/O2P = omega2/omega1 . Профили звеньев проскальзывают со скоростью vs, которая должна определяться расстоянием до мгновенной оси: vs = Omega*KP = (omega2 - omega1) *KP. Поэтому полюс Р должен находиться на нормали, проведенной к контактирующим профилям звеньев в точке контакта К (рис. 4.4) .
4.3.3. Кинематическая пара с вращательным движением одного звена и поступательным второго. Положение мгновенной оси может быть получено так же, как и в предыдущем случае: из точки контакта К проводят нормаль до пересечения с прямой, исходящей из центра O1 перпендикулярно к направлению линейной скорости v2 звена 2 (рис. 4.5) .
Линейное движение можно считать вращательным вокруг бесконечно удаленного центра, поэтому O2P бесконечно велико, и omega2 = 0. Так как omega2*O2P = v2, следовательно:
O1P*omega1 = v2 . (4.6)
4.3.4. Поступательное движение обоих звеньев. Касательная (рис. 4.6) к профилям звеньев определяет углы alf1 и alf2 между скоростью скольжения vs и скоростями v1 и v2 :
v1/v2 = sin (alf2) /sin (alf1) . (4.7)
4.4. Кинематические характеристики многозвенных механизмов.
4.4.1. Структура многозвенных М. Такие М состоят из соединенных друг с другом структурно-элементарных М с характерными кинематическими признаками основных кинематических пар. Схемы структурно-элементарных М с высшими парами изображены на рис. 4.7 и 4.8.
4.4.2. Передаточные отношения цилиндрических, конических и гиперболоидных пар с круговой формой звеньев (рис. 4.7) определяют в соответствии с (3.8) отношением диаметров аксоидов:
i12 = omega1/omega2 = d2/d1 . (4.8)
4.4.3. Передаточное отношение многоступенчатого М с последовательным соединением цилиндрических колес (рис. 4.9) :
i12 = omega1/omega2 = dn/d1* (-1) **k, (4.9)
где k - число внешних зацеплений (здесь знак учитывает направление вращения выходного звена по отношению к входному) .
Для последовательно- параллельного соединения колес (рис. 4.10) :
i12 = omega1/omega2 = [ (d2/d1) * (d4/d3) ...
... (dn/dn-1) ]* (-1) **k . (4.10)
Если в М имеются конические и гиперболоидные пары, знак не определяют.
4.4.4. Передаточные отношения аксоидных М с переменными радиусами звеньев (рис. 4.11) определяют по формуле, аналогичной (4.8) :
i12 = omega1/omega2 = ro2/ro1, (4.11)
где ro1 и ro2 - текущие значения радиусов аксоидных поверхностей, при чем ro1 + ro2 = a.
4.4.5. Передаточное отношение М с гибким звеном (рис. 4.12) определяют из условия равенства линейных скоростей в точках касания этого звена с основными жесткими:
i12 = omega1/omega2 = AK2/AK1 . (4.12)
Глава 5. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
5.1. Задачи анализа; основные понятия и определения.
Задачи динамического анализа:
а) определение усилий, действующих на звенья М при его работе, или силовой анализ;
б) определение законов движения М под действием приложенных усилий, или динамика механизма.
Сила - количественная мера механического взаимодействия тел.
Система сил - совокупность сил, действующих на звено. Система может быть уравновешенной, если под действием ее тело находится в равновесии. Равнодействующая - сила, заменяющая действие системы сил. Момент силы - векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на саму силу (рис. 5.1) : T = (r) a x F ; плечо силы, создающей момент (расстояние до линии действия силы) : h = (r) a*sin (alfa) .
5.2. Условия равновесия звеньев под действием системы сил.
Звено находится в равновесии, если равнодействующая сила R0 и ее момент T0 равны нулю:
R0 = (Rx**2 + Ry**2 + Rz**2) **0.5 = 0;
T0 = (Tx**2 + Ty**2 + Tz**2) **0.5 = 0. (5.1)
Следовательно, сумма проекций всех сил, действующих на звено, а также сумма проекций моментов этих сил на каждую из координатных осей в отдельности должны равняться нулю:
sum (Fix) = sum (Fiy) = sum (Fiz) = 0;
sum (Tix) = sum (Tiy) = sum (Tiz) = 0. (5.2)
Разновидности уравнений равновесия для плоской системы:
sum (Fix) = 0; sum (Fiy) = 0; sum (Tiz) = 0;
sum (Fix) = 0; sum (Tiy) = 0; sum (Tiz) = 0; (5.3)
sum (Tix) = 0; sum (Tiy) = 0; sum (Tiz) = 0;
5.3. Характеристика усилий, действующих на звенья механизма.
5.3.1. Классификация усилий. Силы и моменты, действующие на звенья М, делят на три группы:
а) внешние силовые воздействия;
б) усилия, возникающие в звеньях вследствие действия ускорений;
в) внутренние усилия в кинематических парах - реакции.
5.3.2. Внешние усилия: движущие и сопротивления. Работа движущих усилий dA = F*ds положительна, сопротивлений - отрицательна (рис.
5.2) . Усилия полезного сопротивления приложены к выходному звену М, движущие - к входному, ведущему.
5.3.3. Силы веса. Возникают в поле тяготения, пропорциональны массе звена m и ускорению тяжести g : G = m*g . Условно приложены в центре масс - точке, в которой может сосредоточена вся масса звена, причем состояние его под действием сил не изменяется. Координаты центра масс для тела с обьемом V (рис. 5.3) :
(x)c = (1/V) *int (x*dv) V; (y) c = (1/V) *int (y*dv) V;
(z)c = (1/V) *int (z*dv) V . (5.4)
Для плоского сечения площадью S координаты центра масс:
(x)c = (1/S) *int (x*ds) S; (y) c = (1/S) *int (y*ds) S . (5.5)
5.3.4. Инерционные параметры звеньев: масса при поступательном движении и моменты инерции при вращательном - меры инерционности звеньев. Моменты инерции определяют относительно соответствующей координатной оси: Jx, Jy, Jz, или относительно какой-либо точки - Ja ; в последнем случае Ja = Jxa + Jya + Jza . Момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, называют главным моментом инерции.
Для тела обьемом V с равномерно распределенной массой момент инерции
J = int (ro**2*dm) V, (5.6)
где ro - радиус вращения элементарной массы dm.
Моменты инерции некоторых тел относительно осей, проходящих через центры масс:
- шара массой m и радиусом R:
Jc = 0.4*m*R**2 ;
- цилиндра массой m и радиусом R, относительно оси, прохо дящей через центр масс и параллельной образующей:
Jc = 0.5*m*R**2 ;
- тонкого стержня длиной L и массой m, относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной продольной оси стержня:
Jc = (m*L**2) /12 .
Момент инерции относительно оси, удаленной от центра масс на расстояние a (рис. 5.4) :
Ja = Jc + ma**2 .
5.3.5. Инерционные усилия. Возникают при действии ускорений, пропорциональны этим ускорениям и массе звена или моменту инерции.
Сила инерции: Fи = -m* (w)c, условно приложена в центре масс и пропорциональна его ускорению (w) c.
Момент инерционной силы: Tи = -Jc* (eps) c, где (eps) c - угловое ускорение, Jc - момент инерции относительно центра масс.
В сложном движении, представляющем сумму поступательного и вращательного, на тело действует инерционная сила Fи и момент инерционной силы Ти (рис. 5.5) .
5.3.6. Реакции в кинематических парах. Взаимно уравновешенные усилия взаимодействия звеньев в подвижных соединениях. Реакцию можно представить как сумму нормальной (R) n и касательной (R) t (рис. 5.6) .
Касательная - сила трения, сопротивление тангенциальному смещению поверхностей - функция нормальной силы.
5.4. Краткая характеристика сил трения.
5.4.1. Трение имеет двойственную молекулярно - механическую природу, зависит как от взаимодействия молекулярных структур поверхностных слоев, так и от их механического сцепления. Силы трения зависят от четырех групп факторов:
а) вида трения - скольжения или качения;
б) свойств поверхностных слоев контактирующих деталей;
в) режима трения;
г) формы поверхностей кинематической пары.
5.4.2. Виды трения. Трение скольжения-процесс, при котором одни и те же зоны первой контактирующей поверхности приходят в соприкосновение с новыми зонами другой (рис. 5.7) .
Углы при трении: gamma - угол давления; fit - угол трения. Коэффициент трения f = tg (fit) .
Fт = (R) t = (R) n*tg (fit) = f* (R)n . (5.7)
В трущейся паре может возникнуть самоторможение, когда движение под действием внешней силы P невозможно, как бы велика она ни была, т.к. при этом P < Fт ; условие самоторможения можно записать в виде: gamma < < fit .
Трение качения - процесс, при котором все новые зоны обеих контактирующих поверхностей вступают в контакт, а мгновенная ось вращения проходит через зону контакта (рис. 5.8, а) . При качении нормальная составляющая реакции сдвинута относительно нормали, проходящей через середину зоны контакта на расстояние k, которое называют коэффициентом трения качения (рис. 5.8, б) .
5.4.3. Вторая группа факторов, определяющая физико-механическое и микрогеометрическое состояние контактирующих поверхностей: молекулярное строение, структура поверхностного слоя, внутренние напряжения в нем, твердость, упругость и другие механические свойства; микрорельеф, присущий каждой технической поверхности, и другие. В частности, микрорельеф, согласно ГОСТ 2789-73, описывается десятью параметрами, среди которых, кроме параметров, характеризующих высоту и шаг микронеровностей, должны быть их форма и направление "в плане".
5.4.4. Третья группа факторов - режим трения: удельное давление, относительные скорости, температура в контактных зонах, наличие или отсутствие на поверхностях трения оксидов или смазочных материалов, свойства этих третьих веществ.
Коэффициенты трения скольжения и качения, учитывающие влияние первых трех групп факторов, исследованы экспериментально и приведены в справочниках, для плоских поверхностей при скольжении и для плоской и цилиндрической - при качении.
5.4.4. Влияние формы контактирующих поверхностей. Учитывается введением приведенных коэффициентов трения: отношения внешних сил движущей P и сжимающей контактирующие поверхности N: f' = P/N. При наличии трения силу P находят через f' :