Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу «математика» (стр. 3 из 7)

В определителе третьего порядка получили нули в первом столбце по свойству тому же свойству определителей.

Задание 2. Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в)

; г)

Решение: а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С=АВ, элементы которой определяются по формуле

. Имеем:

б) Вычислим

Очевидно, что

;

в) Обратная матрица

матрицы А имеет вид

где

т.е. матрица A - невырожденная, и, значит, существует матрица

. Находим:

Тогда

;

г) Имеем:

;

Задание 3. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

Решение: Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

данной системы и ранг расширенной матрицы

Для этого умножим первую строку матрицы В на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим

Следовательно,

(т. е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

а) По формулам Крамера

где

находим:

б) Решим систему методом Гаусса. Исключим

из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

Из полученной системы находим

Задание 4. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера - Капелли. В расширенной матрице

меняем третий и первый столбцы местами, умножаем первую строку на 3 и прибавляем ко второй, умножаем первую строку на 2 и прибавляем к третьей, из второй строки вычитаем третью:

Теперь ясно, что

. Согласно теореме Кронекера - Капелли, из того, что

следует несовместность исходной системы.

Задание 5. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

Решение: Определитель системы

поэтому система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение:

Задание 6. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

Решение: Так как определитель системы

то система имеет бесчисленное множество решений. Поскольку

, возьмем любые два уравнения системы (например, первое и второе) и найдем ее решение. Имеем:

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных

не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем

(хотя можно брать и другие пары неизвестных) и переместим члены с

в правые части уравнений:

Решаем последнюю систему по формулам Крамера :

где