Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу «математика» (стр. 6 из 7)
Решение: Имеем неопределенность вида
. Для ее раскрытия воспользуемся теоремой о замене бесконечно малых функций эквивалентными им бесконечно малыми. Так как 
и 
, то 
Задание 9. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
Решение:
Функция
является неэлементарной, так как на разных интервалах представлена различными аналитическими выражениями. Эта функция определена на интервалах 
, где она задана непрерывными элементарными функциями. Внутри каждого интервала указанные элементарные функции не имеют точек разрыва, следовательно, разрыв возможен только в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках 
и 
.Для точки
имеем: 
, 
, 
.Так как
, то функция 
в точке имеет разрыв первого рода.Для точки
находим: 
, 
, 
.Так как
, то функция в точке 
имеет разрыв первого рода.График данной функции изображен на рис. 3.
 |
Рис. 3.
Задание 10. Исследовать данную функцию на непрерывность в указанных точках
Решение:
Для точки
имеем: 
, 
,т.е. в точке
функция 
имеет разрыв второго рода (терпит бесконечный разрыв).Для точки
имеем: 
, 
, 
Следовательно, в точке
функция непрерывна.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4 "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ"
Перед выполнением контрольной работы № 4 необходимо изучить следующие разделы и понятия высшей математики производная, ее геометрический и физический смысл, правила и формулы дифференцирования; логарифмическое дифференцирование; производные высших порядков; дифференциалы первого и высших порядков и их приложения; теоремы о среднем и правило Лопиталя; исследования поведения функции и их графиков; схема полного исследования функции и построение ее графика.
Литература: /1/ гл. 7 § 7.1-7.7; гл. 8 § 8.1-8.9;
/2/ гл. 5 § 1, 4-6, 8, 9, 12, 13, 15;
/3/ гл. 7 § 1, 2.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
Задание 1. Найти производную функции
Решение:
Задание 2. Найти производную функции
Решение:
Задание 3. Найти производную функции
Решение:
Задание 4. Найти производную функции
Решение:
Задание 5. Найти производную функции
Решение:
Задание 6. Найти производную функции
Решение:
Задание 7. Используя метод логарифмического дифференцирования, вычислить производную функции
Решение: Применим метод логарифмического дифференцирования. Для этого предварительно прологарифмируем обе части данного выражения и используя свойства логарифма преобразуем правую часть.
.Продифференцируем обе части равенства, учитывая, что y сложная функция
, 
.Выражая производную искомой функция, получим
Учитывая, что
, окончательно получим 
.Задание 8. Провести полное исследование функции и построить ее график
Решение:
Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:
1. найти область определения функции;
2. исследовать на четность и нечетность функцию;
3. найти точки разрыва функции;
4. найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;
5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями;
6. исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;
7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;
9. построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.
1. Областью определения функции является множество
.2. Так как
и 
, то функция не является ни четной, ни нечетной.3. Функция претерпевает разрыв в точке
.4. Найдем асимптоты графиков функции:
а). Прямая
является вертикальной асимптотой, т.к. 
, 
б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот)
,