Геометрия в пространстве (стр. 3 из 6)

· Если АВ =kCD, а A¹,B¹,C¹ и D¹- проекции точек A,B,C и D, то A¹B¹= kC¹D¹.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство — совпадение не только длин, но и направлений (рис. 7). Таким образом, если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX = kAB на параллельной проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трёх точек, не лежащих на одной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек пространства.

В то же время изображением данной тройки точек, т. е. треугольника, может служить треугольник любой заданной формы. В этом легко убедиться: проведём через сторону Поданного треугольника

ЛВС любую плоскость а, построим в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС на α вдоль прямой l = СС¹ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равнобедренный прямоу-гольный треугольник и достроив его до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм. Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной пирамиды могуг быть любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, вместе с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём, например, отношения, в которых треугольное сечение A¹BD нашего куба (рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В¹С¹. Посмотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ¹, а точнее говоря, спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА¹С¹С. Понятно,чтопроекцией будет сам прямоугольник АА¹С¹С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;