Приложения производной (стр. 8 из 10)
б) на интервале
, т.е. 
убывает. Поэтому при любых 
и 
, для которых 
, неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла: 
Задача 3. Доказать неравенство:
при 
(3).Воспользуемся теоремой 2.
и 
, верно неравенство 
: 
на промежутке 
и выполнимо условие 
где 
, в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.Задача4. Доказать неравенство:
(4).Решение:
, 
; 
Неравенство
при любых 
верно. Значит неравенство (4) верно.Задача5. Доказать, что если
, то 
(5).Решение: Пусть
Тогда 
Чтобы найти, при каких значениях
функция 
положительная, исследуем ее производную 
. Так как при 
то 
Следовательно, функция
возрастает при . Учитывая, что 
и непрерывна, получаем 
, при .Поэтому
возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку 
непрерывна и 
то 
при . Неравенство (5) верно.Задача 6. Выясним, что больше при
: 
или 
.Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь
.Рассмотрим на
вспомогательную функцию 
.Выясним, будет ли она монотонна на отрезке
. Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби): 
при 
.В силу теоремы 1 функция
вырастает на отрезке . Поэтому, при 
т.е. 
при .При решении задачи (6)встретился полезный методический прием, если нежно доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква
) считать применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой , а значение остальных букв (в данном случае значение буквы ) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить указанный прием несколько раз.Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных
неравенство: 
(6).Решение: Пусть
Рассмотрим функцию 
.При
имеем 
.Отсюда видно (теорема 1), что
убывает на 
Поэтому при 
имеем 
т.е. мы получили неравенство: 
(7).Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию
. При 
имеем: 
Следовательно,
убывает на 
, т.е. 
при 
значит, 
(8),Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 3: Пусть функция
непрерывна на 
и пусть имеется такая точка с из , что на 
и 
на 
. Тогда при любом х из справедливо неравенство 
причем равенство имеет место лишь при 
.