P0=1/4; P1=2/4=1/2; P2=1/4.
Пример 3. Одновременно бросаются две игральные кости, на гранях которых нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми?
Решение. Так как любое из возможного числа очков на одной кости может сочетаться с любым числом очков па другой, то общее число различных случаев равно n = 6 * б = 36. Легко убедиться в том, что все эти случаи попарно несовместны, равновозможны и образуют полную группу событий. Для ответа на вопрос следует подсчитать, в каком числе случаев сумма очков равна восьми. Это будет, если число очков на брошенных костях равно
2 + 6, 3 + 5, 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2,
причем первое слагаемое означает число очков на первой, а второе - на второй кости. Отсюда видно, что событию А, состоящему в том, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми, благоприятствует m= 5 случаев. Поэтому
P(A)=5/36.
Пример 4. В мешке лежат 33 жетона, помеченные буквами русского алфавита. Из него извлекают жетоны и записывают соответствующие буквы, причем вынутые жетоны обратно не возвращают. Какова вероятность того, что при этом получится слово “око”? слово “ар”?
Решение. Ошибочно было бы решать задачу так: вероятность извлечения любой буквы равна 1/33, поэтому вероятность сложить слово “око” равна 1/33^3, а вероятность сложить слово “ар” равна 1/33^2. Это было бы верно, если бы последовательные извлечения жетонов из мешка были независимы друг от друга. Но так как жетоны обратно в мешок не возвращаются, то, вынув в первый раз букву “о”,мы уже не получим ее при третьем извлечении. Поэтому вероятность получить слово “око” равна нулю. Чтобы найти вероятность получения слова “ар”, заметим, что при двух извлечениях букв получаются всевозможные размещения без повторений из 33 букв по две, причем очевидно, что любые два таких размещения равновероятны.Так как общее число этих размещений равно (А33)2 =33 . 32=1056 , то вероятность сложить слово “ар” равна 1/1056.
Этот пример показывает, что при решении многих задач теории вероятностей оказываются полезными формулы комбинаторики — при определенных условиях у нас с равной вероятностью получаются размещения с повторениями (если, например, жетоны извлекаются и потом возвращаются обратно), размещения без повторений (если жетоны не возвращаются обратно), перестановки с повторениями и без повторений, сочетания и т. д. Долгое время комбинаторику вообще рассматривали как вспомогательную дисциплину для теории вероятностей, но теперь она приобрела самостоятельное значение.
Сложные вероятности. Теоремы сложения .
Непосредственный подсчёт случаев, благоприятствующих данному событию, может оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события бывает выгодно представить данное событие в виде комбинации некоторых других, более простых событий. Приведём теоремы, с помощью которых можно по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности других случайных событий, каким – либо образом связанных с первыми. Начнём с теорем, которые образуют группу с общим названием “теоремы сложения”.
Теорема 1. Пусть А и В – два несовместных события. Тогда вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей: P(A U B)=P(A)+P(B).
Доказательство.
Обозначим исходы, благоприятные для события А, через а1,а2,…,аm , а для события В – через b1,b2,…,bn. Вероятности этих исходов обозначим соответственно через p1,p2,…,pmи q1,q2,…,qn . Тогда событию A U B благоприятны все исходы a1,a2,…,am , b1,b2,…,bn. В силу того что события А и В несовместны, среди этих исходов нет повторяющихся. Поэтому вероятность события АUB равна сумме вероятностей этих исходов. т.е.
P(AUB)=p1+p2+…+pm+q1+q2+…+qn.
Но p1+p2+pm=P(A), q1+q2+qn=P(B), а потому
P(AUB)=P(A)+P(B).
Теорема доказана.
Пример 1. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3 , а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?
Решение. Событие А “выбить не менее 9 очков” является объединением событий В - “выбить 10 очков” и С – “выбить 9 очков”. При этом события В и С несовместны, так как нельзя одним выстрелом выбить сразу и 9, и 10 очков.
Поэтому по теореме 1 имеем:
P(A)=P(B)+P(C)=0,3+0,6=0.9.
Если события А1, А2, … ,Аnпопарно несовместны, то событие A1U … UAn-1 несовместно с событием An. В самом деле,
(A1U…UAn-1) I An =(A1An)U…U(An-1 An) .
Но при s<n имеем As An =, и потому (A1U…UAn-1)An =. Пользуясь этим замечанием, получаем из теоремы1 следствие:
Следствие. Если события А1,…, Аn попарно несовместны, то вероятность объединения этих событий равна сумме их вероятностей:
P(A1U…UAn)=P(A1)+…+P(An).
Доказательство. Как было отмечено выше, события A1U … UAn-1 и An несовместны, а потому по теореме 1имеем:
P(A1U…UAn-1UAn)=P(A1U…UAn-1)+P(An).
Применяя это же рассуждение к первому слагаемому и продолжая далее, получаем после n-1 шага, что
P(A1U … UAn)=P(A1)+…+P(An).
Пример 2. В цехе работает несколько станков. Вероятность того, что за смену потребует наладки ровно один станок, равна 0,2. Вероятность того, что за смену потребуют наладки ровно два станка, равна 0,13. Вероятность того, что за смену потребуют наладки больше двух станков, равна 0,07. Какова вероятность того, что за смену придётся проводить наладку станков?
Решение. В том примере опыт состоит в том, что прошла смена и отмечено, сколько станков за эту смену потребовало наладки. В этом опыте события: А – “за смену потребовал наладки ровно один станок”, В – “за смену потребовали наладки ровно два станка” и С – “ за сену потребовали наладки более двух станков” несовместны. Нас же интересует вероятность события AUBUC. По теореме 1: P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0,2+0,13+0,07=0,4.
Выведем теперь связь между вероятностями противоположных событий.
Теорема 2. Для любого события А имеем:P(A*)=1-P(A).
Для доказательства вспомним, что AUA*=U, P(U)=1 и AA*. Тогда по теореме 1 получаем: 1=P(U)=P(AUA*)=P(A)+P(A*), откуда следует требуемая формула.
Пример 3. Берётся наудачу трёхзначное натуральное число от 100 до 999. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?
Решение. Опыт здесь состоит в том, что наудачу выбирается натуральное число от 100 до 999 и смотрят, есть ли у негосовпадающие цифры. События “взяли наудачу число N” (N= 100, 101, … , 999) равновероятны (в этом смысл слова “наудачу” ) и образуют множество исходов этого опыта. Число исходов n=900. Нас интересует событие А - “у выбранного числа совпадают хотя бы две цифры”. Проще, однако, подсчитать вероятность противоположного события А* - “у выбранного числа все цифры различны”. Каждое такое число есть размещение без повторений из 10 цифр по 3, не имеющее первым элементом нуль. Следовательно, m=(A10)3–(A9)2=10.9.8—9.8=92.8 (из числа всех трёхэлементных размещений без повторений надо вычесть число тех, у которых на первом месте стоит нуль) и P(A*)=92.8/900=0,72. Тогда по
теореме 2P(A)=1-P(A*)=0,28.
Пример 4. В урне, содержащей n шаров белого, красного и чёрного цвета, находится k белых шаров и L красных. Какова вероятность вынуть шар не чёрного цвета?
Решение. Если событие А состоит в появлении белого, а событие В – красного шара, то появление шара не чёрного цвета означает появление либо белого, либо красного шара. Так как по определению вероятности
P(A)=k/n, P(B)=L/n,
То по теореме сложения вероятность появления шара не чёрного цвета равна: P(AU B)=k/(n+L)/n=(k+L)/n.
Эту задачу можно решить и так. Пусть событие С состоит в появлении чёрного шара. Число чёрных шаров равно n –(k+L), так что P(C)=(n—k—L)/n. 3
Появление шара не чёрного цвета является противоположным событием С*, поэтому на основании указанного выше следствия из теоремы сложения имеем: P(C*)=1—P(C )=1—(n—k—L)/n=(k+L)/n, как и раньше.
Пример 5. В денежно – вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого – либо выигрыша на один лотерейный билет?
Решение. Если обозначить через А событие, состоящее в выпадении денежного выигрыша, и через В — вещевого, то из определения вероятности следует P(A)=120/1000=0,12;P(B)=80/1000=0,08. Интересующее нас событие представляет (AUB), поэтому из теоремы сложения вытекает:
P(AUB)=P(A)+P(B)=0,20.
Таким образом, вероятность какого – либо выигрыша равна 0,2.
Прежде чем перейти к следующей теореме, необходимо ознакомиться с новым важным понятием – понятием условной вероятности. Для этой цели мы начнём с рассмотрения следующего примера.
Пусть на складе имеется 400 электрических лампочек, изготовленных на двух различных заводах, причём на первом изготовлено 75% всех лампочек, а на втором – 25%. Допустим, что среди лампочек, изготовленных первым заводом, 83% удовлетворяют условиям определённого стандарта, а для продукции второго завода этот процент равен 63. Определим вероятность того, что случайно взятая со склада лампочка окажется удовлетворяющей условиям стандарта.