Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Примерное содержание одного варианта:
1. Вычислить: а) (3+5i) + (2+i) = . . . . .; б) (3+5i) - (4-i) = . . . .;
2. Возвести в степень: а) i123 = . . . ; б) (i-1)2 = . . . .
3. Вычислить: (Ö3 + iÖ2) (Ö3 - iÖ2) = . . . .
4. Построить слагаемые и сумму комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-5i; z2=2+3i.
5. Построить уменьшаемое, вычитаемое и разность комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-i; z2=3i.
Упражнения:
1. Выполнить действия: а) [2i (3-4i)]2 =; б) a-bi - ib-ai = ;
b+ai a+bi
в) i100 + i98 +i63 =;
2. Н основании равенства комплексных чисел, найти действительные числа Х и У, если а) 2+5ix - 3уi = 14i + 3x -5y; б) x2 -7x +9yx = y2i +20i -12.
3. При каких действительных значениях Х и У комплексного числа
а) 5 + ixy и x + y +4i; б) 9y2 - 4 - 10x и 8y2 + 20i7 Будут сопряженными?
4. Решите уравнения: а) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i;
б) z2 - (5+2i) z + 5 + 5i =0; в) z2 + z =0; г) (1-i) z - 3iz = 2-i; д) z*z + 2z =3+2i;
е) z*z + 3(z-z) - 4+3i.
5. Решите уравнения: а) /z/ = 2i (z+1); б) /z/ = i (2z+i); в) /z/ - iz = i-2i;
г) z2 + 3/z/ =0; д) z2 + /z/2 =0.
8. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием:
а) /z/ <1; б) /z/ =2; в) Rez > 1; г) Jmz < -2; д) /z+i/ =2; е) /z-2/ <3; ж) /z-4 +i/ £5.
7. Точка А соответствует комплексному числу z = 3+ i4. Какое комплексное число соответствует точке симметричной точке А, относительно: а)оси Ох; б) оси Оу; в) начала координат?
8. На комплексной плоскости даны точки z1, z2 , z3 являющиеся вершинами некоторого треугольника. Найдите все комплексные числа, соответствующие точками, дополняющим данный треугольник до параллелограмма.
9. Изобразить: а) /z/ £3 б)/z/³ 1 в) /z-1/³ 2
/z-3i/³3 /z-2i/£2 -1< Rez<2
г) 1£ /z-1/£ 2 д) /z/ £3
0£Jmz£Ö3 1< Jmz <2.
§ 3 Тригонометрическая форма комплексного числа.
Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.
Пусть точка А соответствует комплексному
числу z=a+bi. Тогда длина вектора ОА называется
модулем числа z, а радианная мера угла,
образованного этим вектором с
положительным направлением действительной оси, - аргументом комплексного числа Z. Причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент - argz = j (см. рис. 2).
Для числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Если комплексное число является действительным, то соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, и понятие /z/ совпадает с известным понятием модуля действительного числа.
Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Но аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2p.
На рис. 2 мы видим, что sinj = b/r, а cosj =a/r, отсюда а=rcosj и b=rsinj, где r =Öa2 + b2, т.о. действительная и мнимая части комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргумент j. Следовательно, комплексное число z может быть записано в виде z=rcosj + irsinj=r(cosj+isinj) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:
1. Найти радиус r = Öa2 + b2
2. Вычислить tgj1 =|b/a|.
3. По знакам a и b определить четверть, в которой находится число z.
4. Найти j, причем, если число находится:
а) в I четверти, то j = j1;
б) во II четверти, то j = p - j1;
в) в III четверти, то j = p + j1;
г) в IV четверти, то j = -j1, или j = 2p -j1.
5. Записать комплексное число в тригонометрической форме:
z = r (cos j + i sin j).
Или, чтобы не производить лишних вычислений, для того чтобы найти значение для j по известным значениям sinj и cosj, заполним таблицу и будем ею пользоваться:
| j | 0 | p6 | p4 | p3 | p2 | p | 5p6 | 3p4 | 2p3 | 3p2 | 4p3 | 4p4 | 7p6 | 5p3 | 7p4 | 11p 6 | 2p |
| sinj | 0 | 12 | Ö2 2 | Ö3 2 | 1 | 0 | 1 2 | Ö2 2 | Ö3 2 | -1 | -Ö3 2 | -Ö2 2 | -1 2 | -Ö3 2 | -Ö2 2 | -1 2 | 0 |
| cosj | 1 | Ö3 2 | Ö2 2 | 1 2 | 0 | -1 | -Ö32 | -Ö2 2 | - 1 2 | 0 | -1 2 | -Ö2 2 | -Ö3 2 | 12 | Ö2 2 | Ö3 2 | 1 |
Переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической производится подстановкой в выражение z=r (cosj + isinj) числовых значений cosj и sinj, затем раскрываются скобки и производятся упрощения.
Например: 1) z = 1+i /z/ r =Ö 12+12 =Ö2
sinj = 1 =2 cosj = 1 = 2 Þj = 450
Ö2 2 Ö2 2
т.о z = a + bi = 1 + i = Ö2 (cos 450+ isin 450 =Ö2 (cos p + sin p)
4 4
2. z = 6( cosp + isin p) = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 Þz = -6.
Упражнения:
1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:
а) Ö3-i ; б) 6+6i ; в) -2 ; г) i ; д) -1 - Ö3 i е) -3 (cos p + isin p
2 2 ; 7 7 ;
ж) sin 48° + cos 48° ; з) 1 + cos 10p+ isin 10p
9 9
2. Представьте в алгебраической форме комплексные числа :
а) z = 2 (cos 225° + isin 225°) ; б) z=3 (cos0° + isin 0°) ;
в) z = 5(cos p + isin p ; г) z = 2(cos p + isin p
2 2 3 3
3. Построить комплексные числа? А) z=2 (cos p + isin p )
4 4
б) z = cosp + isin p ; в) z =2 (cos 3p + isin 3p
4 4