Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Выполнить упражнения.
Обобщение и систематизация знаний. Отметить равенство двух комплексных чисел в тригонометрической форме: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2π. Рассмотреть сопряженные комплексные числа, записанные в тригонометрической форме.
Предложить учащимся ответить на вопросы:
1. Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа r и –r?
2. Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы j и –j ?
Самостоятельное применение ЗУН. Провести проверочную работу в 2 – 6 вариантах.
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание.
§4 Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.
Обучающая цель: Научить учащихся выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Воспитательная цель: Воспитывать положительное отношение к процессу обучения, развивать интерес к математике.
Основные знания и умения. Знать: правила действий над комплексными числами в тригонометрической форме. Уметь: выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Методические рекомендации.
Вид занятия. Усвоение новых знаний.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Тригонометрическая форма комплексного числа оказывается более удобной при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня из комплексного числа. Кроме того, она позволяет рассмотреть некоторые частные случаи, важные для прикладных вопросов.
Последовательность изложения нового материала.
1. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в степень, извлечение из корня).
2. Решение упражнений.
План занятий.
Проверка домашнего задания. Провести фронтальный опрос по вопросам.
Повторение опорных знаний учащихся. Повторить формулы тригонометрии.
Изложение нового материала. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме рассмотреть в следующем порядке: умножение, деление, возведение в степень, извлечение из корня; ввести соответствующие формулы сформулировать правила действий. Решить примеры.
Обобщение и систематизация знаний. Следует обратить внимание учащихся, что сложение и вычитание комплексных чисел легко выполняются в алгебраической форме, а умножение, возведение в степень, деление и извлечение из корня рациональнее выполнять в тригонометрической форме.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Выполнить действия.
Самостоятельное применение ЗУН. Провести самостоятельную работу с выборочной проверкой.
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание.
§5 Решение упражнений. Комплексные корни многочлена.
Обучающая цель: Научить учащихся применять все формы комплексного числа при решении упражнений.
Воспитательная цель: Прививать интерес к математике. При подготовке и проведении самостоятельной и, впоследствии, зачетной работы необходимо показать роль личной ответственности каждого учащегося за качество выполненной работы, роль систематической работы в классе и дома по углублению и повышению прочности знаний, для формирования умений и навыков.
Методические рекомендации.
Вид занятия. Комбинированное.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Овладение умениями и навыками вычислений над комплексными числами является основным мотивом. Знакомство с комплексными числами имеет цель продолжать и развивать такие содержательно-методические линии, как линия развития понятия числа, линия математической логики и др. Для качественного выполнения зачетной работы необходимо повторить основные теоретические и практические положения темы.
План занятий.
Проверка домашнего задания. Провести комбинированный опрос. У доски отвечают четыре человека по карточкам – заданиям, а остальные решают упражнения, аналогичные домашним.
Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися основные положения темы.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач.
Творческое применение ЗУН. Решить примеры.
Самостоятельное применение ЗУН. Провести самостоятельную работу в 2 – 6 вариантах.
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание.
§6 Зачет (25).
Глава 3. Описание эксперимента
3.1. Методические основы и организация экспериментального исследования
Формирование и развитие математического мышления способствует выявлению и более эффективному развитию математических способностей школьников, подготавливает их к творческой деятельности вообще и в математике с её многочисленными приложениями в частности.
Вообще интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.
Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, которое является одной из основных задач современного школьного обучения.
Говоря об алгебраической культуре, заметим, что некоторые разделы алгебры, которые иногда даже не рассматриваются в математических классах, целесообразно вводить в общеобразовательную программу. Так, например, понятие числа в школе заканчивается изучением действительных чисел, что можно считать существенным пробелом в математической подготовке учащихся, т.к. более естественным является введение понятия комплексного числа.
Формирование у учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможно и может вестись по нескольким различным линиям, учитывая то, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся косвенным проявлением нужд и запросов самой практики.
С целью объективной и доказательной проверки эффективности усвоения нового понятия на педагогической практике был проведен эксперимент.
Цель исследования – развитие мышления учащихся через формирование нового понятия – понятия комплексного числа.
Объект исследования – учебная деятельность учащихся, учебно-познавательный процесс.
Предмет исследования – процесс формирования понятия комплексного числа у учащихся.
Гипотеза исследования – если учащиеся:
-знают определение комплексного числа, различные формы комплексного числа;
-умеют выполнять арифметические действия над комплексными числами, записанными в алгебраической и в тригонометрической форме;
-умеют изображать комплексные числа и действия над ними на комплексной плоскости;
-оперируют такими понятиями как комплексные числа, действия над комплексными числами, различные формы комплексного числа, корни многочленов,
то формирование и усвоение понятия комплексного числа прошло успешно.
Цель, предмет и гипотеза исследования определили необходимость постановки и решения следующих задач:
1. Исследовать особенности математического мышления старшеклассников.
2. Исследовать процесс формирования понятий на материале темы “Комплексные числа”.
Логика и этапы исследования:
I этап: диагностический.
Зафиксировать успеваемость детей на момент исследования; оценить уровни и качество усвоения понятий учащимися, а также получить необходимые сведения о достигнутом уровне их умений и навыков.
В результате мы имеем объективную информацию об индивидуальной сформированности математического мышления испытуемых, их интересах и способностях.
II этап: формирующий.
С помощью системы методов, приемов, средств обучения и т.д. сформировать у учащихся понятие комплексного числа.
В итоге мы сможем оценить, как и на сколько успешно проходило усвоение нового понятия.
III этап: диагностический.
Используя методы опроса, изучая продукты деятельности учащихся, школьную документацию, сделать выводы о степени усвоения данного понятия. Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа.
Описание методов.
Диагностические: I этап.
Беседа проводилась с учителем математики, которая в 10ª классе преподает алгебру и геометрию. Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала педпрактики, после того, как произошло знакомство с классом, определилась группа испытуемых.
Прежде был сформулирован приблизительный ряд вопросов, по которым нужно было получить необходимую информацию:
-каков круг интересов ребят;
-сколько учащихся непосредственно проявляют интерес к математике, и чем это обосновано;
-к моменту исследования каков их уровень самостоятельности, активности, организованности;
-умеют ли учащиеся применять на практике приемы и операции мышления;
-насколько развито абстрактное, конкретное, логическое и творческое мышление;
-насколько полно ребята усваивают содержание и объем понятий;
-насколько полно усваивают связи и отношения данного понятия с другими;
-умеют ли оперировать понятием при решении предлагаемого ряда упражнений и задач, нестандартных заданий;
-чем можно объяснить, что в группу испытуемых вошли именно те или иные учащиеся.
Учитель проявила заинтересованность, давала ясные, исчерпывающие ответы, которые ещё и подтверждала примерами из опыта работы с учащимися 10а класса.
Изучая школьную документацию, в частности, классный журнал – оценки по предметам алгебра и геометрия, фиксировалась успеваемость учащихся, что давало сведения об их индивидуальности, например, какие учащиеся активны на уроке, у кого оценки выше при ответе у доски, а у кого – при самостоятельной работе, какие темы усваиваются лучше, какие труднее и т.д.