Композиции преобразований (стр. 4 из 6)

Итак, композиция зеркальной и центральной симметрий есть винтовое движение: Z_O◦S_a= S_l◦

. (3)

Задача 8.Найти композицию Z_O◦S_a◦S_l , если прямая lпараллельна плоскости a и точка О лежит в a.

Решение. На основании (3) композиция Z_O◦S_aв общем случае есть винтовое движение. В силу того, что ОÎa, вектор винтового движения будет нулевым, и само винтовое движение выродится в осевую симметрию S_a , где a^aи OÎa(рис. 8). Тогда Z_O◦S_a◦S_l=S_a◦S_l, причем a^l.

Если прямые a и lскрещиваются, то искомая композиция является винтовым движением R_h^j◦

, угол jкоторого равен 2Ð(a, l)=p, ось h – общий перпендикуляр прямых a и l, вектор =2 , где L=lÇh, A=aÇh(см. [3], с. 19).

Если прямые aи lпересекаются, то

= , и композиция S_a◦S_lявляется осевой симметрией S_h, где h – это перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые aи l.

1.4. Композиции осевых симметрий пространства

Задача 9. Композиция трех осевых симметрий пространства является осевой симметрией: S_c◦S_b◦S_a=S_l. Какое взаимное положение могут иметь прямые a, b, c? Построить ось l этой композиции в каждом из возможных случаев.

Решение. Равенству S_c◦S_b◦S_a=S_lэквивалентно равенство

S_c◦S_b=S_l◦S_a . (*)

Если прямые bиcпараллельны, то S_c◦S_b=

. Тогда и правая часть равенства (*) является переносом: S_l◦S_a= . А значит прямые aи lтакже будут параллельными.

Таким образом, получили, что, если прямые b, cпараллельны, то все оси a,b,cи lпопарно параллельны (рис. 9а).

h	l
A
		a
c	b
l	O
c
a
b

Рис. 9а Рис. 9б

Если прямые bиcпересекаются в точке O, то композиция S_c◦S_bявляется поворотом R_h^j(см. [3], c. 15), где h– перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые bи c, при этом точка O принадлежит оси h, угол j=2Ð(b, c)(рис. 9б). Тогда и композиция S_l◦S_aявляется этим же поворотом R_h^j, значит h– перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые aи l, точка пересечения Aкоторых принадлежит оси h, и ориентированный угол между aи l равен углу поворота j.

Таким образом, если оси bиcпересекаются, то прямая a параллельна плоскости, проходящей через b иc, пересекается с перпендикуляром hк этой плоскости, восстановленным в точке пересечения прямых bиc. Осьlудовлетворяет следующим условиям:точка пересечения A прямых aи hпринадлежитl,lпараллельна плоскости (b, c), ориентированные углы Ð(a,l)=Ð(b,c). Если точка A принадлежит прямой a, то точки Aи O совпадают, т.е. ось lтакже походит через точку A.

Если прямые bиcскрещиваются, то композиция S_c◦S_bявляется винтовым движением R_h^2j◦

, ось h которого есть общий перпендикуляр к прямым b и c, вектор коллинеарен оси h, угол j равен ориентированному углу между прямыми b и c(рис. 9в). В силу равенства (*) композиция S_l◦S_aявляется этим же самым винтовым движением: S_l◦S_a=R_h^2j◦ , то есть h– общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым aиl, и угол Ð(a, l)=j.

h

l a c b

Рис. 9в

Таким образом, если оси bиc - скрещивающиеся, то прямые a, bиcпопарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр h. Ось l удовлетворяет следующим условиям: lиh - перпендикулярные прямые, расстояния между прямыми b, cиa, l равны, и углы между этими осями также равны.

Обобщая все рассмотренные случаи, получаем, что композиция трех осевых симметрий является осевой симметрией, если исходные оси либо попарно параллельны, либо попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в параллельных плоскостях по две, пересекаются, и прямая, проведенная через точки пересечения, является для осей общим перпендикуляром.

Задача 10. Композиция трех осевых симметрий есть перенос: S_c◦S_b◦S_a=

. Каково взаимное положение их осей?

Решение. Если прямые b и cпараллельны, то композиция S_c◦S_b является переносом

. Тогда ◦S_a=, полученное равенство эквивалентно равенству S_a=◦или S_a=(этот факт легко доказывается по аналогии с композицией переносов в планиметрии, см. [2], с. 308). Это равенство противоречиво, а значит композиция S_c◦S_b◦S_aпри параллельных b и cне может быть переносом.

Если прямые bиcпересекаются в точке O, то композиция S_c◦S_b является поворотом R_h^j, где h– перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые bиc, при этом точка Oпринадлежит оси поворота h, и угол j=2Ð(b, c). Тогда исходная композиция S_c◦S_b◦S_a=

будет эквивалентна следующей композиции R_h^j◦S_a=. Такое возможно только, если поворот R_h^jявляется осевой симметрией пространства, т.е. угол j=±p , при чем оси симметрий aиhпараллельны, и расстояние между ними равно . В силу этих рассуждений, получили, что ось aперпендикулярна плоскости (b, c), а прямые bиc перпендикулярны между собой.