Композиции преобразований (стр. 5 из 6)

Таким образом, при пересекающихся осях bиcдля выполнения исходного равенства необходимо, чтобы прямые a,bиc были попарно перпендикулярными.

Если bиc скрещиваются, то композиция S_c◦S_bявляется винтовым движением R_h^j◦

, где h– общий перпендикуляр прямых bиc, угол j=2Ð(b, c),

(рис. 10).

B b c C

Рис. 10

Следовательно, S_c◦S_b◦S_a=

эквивалентно равенству R_h^j◦

◦S_a. А это возможно, если угол j=±p, и прямые aиhпараллельны, иначе говоря прямая a перпендикулярна bи c. Т.е. исходное равенство при скрещивающихся прямых bи c возможно, если все три оси взаимно перпендикулярны.

Таким образом, композиция трех осевых симметрий пространства есть перенос, если оси этих симметрий попарно перпендикулярны.

1.5. Применение композиций движений пространства к решению задач

Аппарат движений пространства, а в частности композиции движений пространства, можно эффективно применять для решения геометрических задач.

Задача 11. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла DABC и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.

Решение. Пусть DE,DF – биссектрисы плоских углов ADBиBDC, DH – биссектриса угла, смежного с углом ADC, т.е. ÐDAE=ÐEDC, ÐBDF=ÐFDC, ÐCDH=ÐHDK (рис.11).

	D	K	H
A
C
E	F
B

Рис. 11

Рассмотрим композицию fтрех осевых симметрий: f=S_DH◦S_DF◦S_DE. Движение f – это движение первого рода, как композиция движений первого рода. К тому же композиция S_DH◦S_DF◦S_DE отображает прямую AKна себя, точка Dпри этом неподвижна. Следовательно, рассматриваемая композиция есть осевая симметрия.

Воспользовавшись выводами, полученными в задаче 8 для случая с пересекающимися осями симметрий, можно сказать, что прямые DE, DF и DH лежат в одной плоскости.

Задача 12. Через вершину Dпрямого трехгранного угла DABCвнутри его проведен луч DO. Доказать, что выполняется неравенство:

Ð(DO, DA)+Ð(DO, DB)+Ð(DO, DC)<180°.

Решение. Обозначим через DE, DFи DHлучи, симметричные лучу DOотносительно прямых DA, DBиDC соответственно (рис. 12). Поскольку трехгранный угол DABC– прямой, то прямые DBиDC перпендикулярны, и S_DC◦S_DB=S_DA(как композиция двух поворотов). Рассмотрим образ луча DF после применения симметрии S_DA:

S_DA(DF)=(S_DC◦S_DB)(DF)=S_DC(DO)=DH, кроме того S_DA(DO)=DE.

Следовательно, Ð(DO, DF)=Ð(DE, DH). Аналогично можно доказать, что Ð(DO, DE)=Ð(DF, DH)и Ð(DO, DH)=Ð(DE, DF).

H E C A O B F

Рис. 12

Оценим искомую сумму углов, учитывая полученные равенства:

Ð(DO, DA)+Ð(DO, DB)+Ð(DO, DC) =

Ð(DO,DE) +

Ð(DO,DF) +

Ð(DO,DH) =

( Ð(DF,DH) + Ð(DE,DH) +

+ Ð(DE,DF)). Лучи DE, DFи DH являются ребрами трехгранного угла DEFH, а значит сумма Ð(DF,DH)+Ð(DE,DH)+Ð(DE,DF)<360°.

Такимобразом, Ð(DO, DA)+Ð(DO, DB)+Ð(DO, DC)<180°.

§2. Композиции подобий и аффинных преобразований пространства

Среди преобразований пространства выделяют также преобразования, не сохраняющие расстояния между точками, - это подобия, гомотетии как частный случай подобий, и аффинные преобразования.

Задача 13. Найти композицию гомотетии и переноса пространства:

◦H_O^k.

Решение. Рассмотрим образ произвольной точки Xпосле применения искомой композиции. Пусть X₁ – образ Xпосле применения H_O^k: H_O^k(X)=X₁, а точка X₂ – образ X₁ после применения переноса:

(X₁)=X₂. Через центр гомотетии O проведем прямую n параллельную прямой, содержащую вектор

(рис. 13).

n	S₁		S	O
X
X₁		X₂