Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції (стр. 4 из 6)

2.Поліноми вищого степеня віднімають багато часу в обчислювальному процесі і можуть нести небажані скачки. Крива може "скакати" назад і вперед важко керованими способами.

3. Кажучи, що кубічні В-сплайни дають "задовільну" неперервність, мається на увазі, що око не може виявити геометричну неоднорідність степеня вище, ніж два і практично досить використовувати В-сплайни третього ступеня [9].

Отже, хоч кубічні В-сплайни і є методом, важчим у розрахунках, ніж інші, відомі методи, які застосовуються у задачах для наближення, але він дає набагато точніший результат, і є просто незамінним при розв’язуванні задач, які неможливо розв’язати іншими методами.

3.Практична частина

3.1 Задача №1

Потрібно інтерполювати (використовуючи задачу першого або другого роду) одну з відомих функцій, з допомогою кубічних В-сплайнів, у випадку рівномірної сітки розбиття.

Розв’язання: Для розв’язання цієї задачі візьмемо функцію

і будемо її інтерполювати на відрізку

, розбивши його на 6 рівних частин (

). Маємо рівномірну сітку, отже будемо користуватися формулою (15’). Знайдемо

(задача інтерполяції першого роду):

(15’’) Виключимо із системи (16)

, (32)

і отримаємо наступну систему:

(33) де

,(34)

Розв’язавши систему (33), знайдемо коефіцієнти

, для шуканого сплайна:

(де у нашому випадку

Отже необхідно знайти і підставити відповідні значення та розв’язати матричне рівняння:

де

- тридіагональна матриця, а

- шуканий вектор коефіцієнтів.

Для нашої функції

маємо наступні дані:

,
,

,
.

Тоді три діагональна матриця

і вектор

відповідно дорівнюватимуть:

підставивши їх у матричне рівняння, отримаємо вектор

Отже, маємо інтерполяційний сплайн функції

на проміжку

Побудуємо його графік (в середовищі Matlab):

Мал. 4, 5 – Графіки функції

На малюнку 4 зображено графік функції

, а на малюнку 5 – графік функції

(зображено зеленим кольором), яка накладається на графік функції

. Як бачимо наш інтерполяційний сплайн фактично повністю співпадає з

і лише при великому збільшенні можна побачити розбіжності (малюнок 6 і 7), тобто має місце незначна похибка. Знайдемо її.

Мал. 6, 7 – Розбіжності

Для цього будемо шукати максимальну похибку на кожному з відрізків розбиття. Скористаємося наступними формулами:

(35)

Отже на проміжку

маємо графік зображений на малюнку 8 (побудований в середовищі Mathcad). Неозброєним оком похибки не видно, але вона є, і це показано на малюнку 9, який зображає функцію

Мал. 8 – Графік, побудований в середовищі Mathcad

Мал. 9 – Найбільша похибка відрізку

Як видно з малюнка 9, найбільша похибка на даному відрізку приблизно дорівнює:

при

і відповідно

Аналогічно розглянемо всі проміжки розбиття і знайдемо максимальні значення похибок на кожному з них, які представлені в наступній таблиці:

сегмент
	0,27	-2,023	0,021%
	0,82	-1,472	0,022%
	1,36	-0,584	0,028%
	1,78	0,584	0,028%
	2,34	1,489	0,021%
	2,88	2,023	0,021%

З таблиці видно, що максимальна похибка менша за 0,03%, і, оскільки, задовільною вважається похибка менша чим 5%, то отриману можна вважати практично нульовою.