Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції (стр. 5 из 6)
3.2 Задача №2
Потрібно інтерполювати (використовуючи задачу першого або другого роду) одну з відомих функцій, з допомогою кубічних В-сплайнів, у випадку нерівномірної сітки розбиття.
Розв’язання: Для розв’язання цієї задачі візьмемо функцію
і будемо її інтерполювати на відрізку 
, розбивши його на 5 частин ([0,1], [1,9/5], [9/5,12/5], [12/5,14/5], [14/5,3]). Маємо нерівномірну сітку, отже будемо користуватися формулою (15). Знайдемо 
і 
(задача інтерполяції першого роду). Аналогічно, як і в першій задачі використаємо формули (34) і розв’яжемо систему (33). Для нашої функції маємо наступні дані:  |  |  |  |
| -2 | -2 |  | |
| -1 | -1 |  | |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 |  | |
| 2 |  |  | |
| 3 |  |  | |
| 4 |  |  | |
| 5 | 3 |  | |
| 6 | 3,1 |  | |
| 7 | 3,2 |  |
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
,
, 
, 
.
Тоді тридіагональна матриця
і вектор 
відповідно дорівнюватимуть: 
, 
, підставившиїх у матричне рівняння, отримаємо вектор
: 
, 
. Отже, маємо інтерполяційний сплайн функції на проміжку 
: 
Побудуємо його графік (в середовищі Matlab):
Мал. 10 і 11 – Графік функції
На малюнку 10 зображено графік функції
, а на малюнку 11 – графік функції (зображено синім кольором), яка накладається на графік функції . Як бачимо наш інтерполяційний сплайн фактично повністю співпадає з і лише при великому збільшенні можна побачити розбіжності (малюнок 12 і 13), тобто має місце незначна похибка. Знайдемо її. 
Мал. 12, 13 – Розбіжності
Для цього будемо шукати максимальну похибку на кожному з відрізків розбиття. Скористаємося наступними формулами:
, 
(36)Неозброєним оком похибки не видно, але вона є, і це показано на малюнку 14, який зображає функцію
на кожному проміжку розбиття. 
Мал. 14 – Похибки
Аналогічно, як і в попередній задачі розглядаємо всі проміжки розбиття і знаходимо максимальні значення похибок на кожному з них, які представлені в наступній таблиці:
Таблиця 5. - Всі проміжки розбиття
| сегмент |  |  |  |
| [0,1] | 0,5 | 1,786  | 0,1049% |
| [1, ] | 1,38 | -3,141 | 0,0682% |
| [ , ] | 2,12 | -1,431  | 0,0228% |
| [ , ] | 2,63 | 1,548 | 0,0028% |
| [ ,3] | 2,82 | 1,813 | 0,0002% |
З таблиці видно, що максимальна похибка менша за 0,11%, і, оскільки, задовільною вважається похибка менша чим 5%, то отримана нас повністю задовольняє. Ще можна відзначити, що найменша величина похибки досягається на найменшому із сегментів розбиття, тобто чим менші проміжки розбиття тим більша точність (але розбиття на занадто малі сегменти може значно ускладнити обрахунки).
Висновки
У курсовій роботі було розглянуто лінійні , квадратичні та кубічні В-сплайни. Було отримано форми запису цих сплайнів та виведено деякі формулидлярозрахунків інтерполяційнихзадач.А також представлені рекурентні формули для виведення В-сплайнів 1-го, 2-го, 3-го та вищих порядків.