Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе (стр. 4 из 6)
1. Вычислить дискриминант D по формулеD =b2 – 4ас.
2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2+bx+c = 0 не имеет корней.
3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле
4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2+bx+c = 0 имеет два корня:
; 
.Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.
Математики – люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой:
. (2)Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное выше правило; можно – записать сразу формулу (2) и с ее помощью делать необходимые выводы. [1,98].
На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х2 +px + q = 0 (3), где p и q – данные числа. Число p – коэффициент при х, а q – свободный член. Дискриминант уравнения равен: D = p2 – 4q. Рассматривают 3 случая:
1. D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле
. (4)2. D = 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как горят, два совпадающих корня:
3. D < 0, то уравнение не имеет корней. Обычно в случае приведенного квадратного уравнения (3) вместо D рассматривается выражение
, имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так: 
Отсюда следует, что:
1) если
то уравнение (3) имеет два корня;2) если
то уравнение имеет два совпадающих корня;3) если
то уравнение не имеет корней.Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Иначе говоря, если x1 и x2- корни уравнения х2 +px + q = 0, то
x1 + x2 = - p,
x1x2 = q. (5)
Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф.Виета (1540-1603), который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.
Например, приведенное уравнение х2 - 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.
Теорема, обратная теореме Виета. Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (5), то x1и x2- корни уравнения х2 +px + q = 0 [2,49].
Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.
Например. Напишем приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.
По формулам Виета
– p = x1 + x2 = - 2,
q = x1 x2 = -3.
Следовательно, искомое уравнение имеет вид х2 + 2х – 3 = 0.
Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.
Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители
Таким образом, неполные и приведенные квадратные уравнения имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.
Глава 2. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений
2.1. Урок – лекция по теме «Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом»
Цели:
· научить детей решать квадратные уравнения по новой формуле;
· повторить ранее изученный материал по теме «Квадратные уравнения»;
· развивать вычислительные навыки детей, внимание, память, математическую речь;
· воспитывать аккуратность, умение аргументировать свою точку зрения.
Оборудование: карточки с формулами.
Ход урока
1. Домашнее задание.
- Откройте дневники, запишите домашнее задание: учить формулы, вывод этих формул.
2. Устные упражнения.
- В начале урока повторим теоретический материал по теме: «Квадратные уравнения».
2.1. Фронтальный опрос.
1. Что называют квадратным уравнением? (Квадратным уравнением называют уравнение вида вид ах2 + bx + c = 0, где а, b, c – любые действительные числа, причем а ≠ 0).
2. В уравнении 2х +4х2 +1 = 0 (на доске).
- Назовите: - старший коэффициент (4);
- второй коэффициент (2)
- свободный член (1).
3. Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением? Пример. (Квадратным уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1. Пример: х2 + 3х + 4 = 0).
4. Какое уравнение называют полным квадратным уравнением? (Полным квадратным уравнением называют уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, т.е. уравнение, где b, c ≠ 0).
5. Какое уравнение называется полным квадратным уравнением? (Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых).
6. Что называют корнем квадратного уравнения? (Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах2 + bx + c = 0 обращается в нуль; такое значение переменной х называют корнем квадратного трехчлена).
7. Что значит решить квадратное равнение? (Значит, найти все его корни или установить, что корней нет).
3. Сообщение темы и цели урока.
- Сейчас мы познакомимся еще с одной формулу, по которой можно найти корни квадратного уравнения.
- Будем учиться применять ее при решении квадратных уравнений.
4. Работа по теме урока.
4.1. Историческая справка.
- Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел
4.2. Объяснение нового материала.
- Записываем в тетрадях для лекций сегодняшнее число и тему нашего урока: «Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом».
- Все внимательно слушаем, в тетрадь пока ничего не пишем.
Слова учителя Записи на доске
1. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0
ах2 + bx + c = 0, со вторым четным b = 2n. коэффициентом, т.е. b = 2n.
- Тогда уравнение можно записать ах2 + 2nx + c = 0 в виде:
- Найдем дискриминант (вместо bD = (2n) 2 – 4ас = пишем 2n).
- Что получили?
- Что я могу сделать с этим выражением? = 4n2 – 4ас =
(раскрыть скобки)
- Что получиться?
- А дальше можно 4 – вынести за скобки. = 4(n2 – ас)
- Выражение в скобках обозначим через n2 – ас = D1
D.
- Запишите в тетрадь мои записи с доски.
2. – От чего зависит количество корней в D = 4(n2 – ас) = 4D1
квадратном уравнении? (от значения D).
- От чего зависит значение D? (от значения D1)
- Пусть D> 0, тогда D1 >0 и D = 4D1> 0 D1 >0
- Чему равно D? (4D1)
- Что можно сделать дальше? (вынесем
2 из-под знака корня).- Еще что можем сделать? (вынести
общий множитель за скобки и сократить)- Кто может записать, чему равно x2.
