Матрицы и определители 3 (стр. 3 из 4)
с22 = 2.2+(-1).(-1) = 5.
Запишем теперь матрицу
.Пример 4. Пусть А и В – матрицы из примера 6. Вычислить произведение ВА=Д, проверить, будут ли матрицы А и В перестановочны.
.Выпишем формулы для вычисления элементов i = 1,2; j = 1,2 матрицы Д:
d11 = a11b11 + b12a21, d12 = b11a12 + b12a22,
d21 = b21a11 + b22a21, d22 = b21a12 + b22a22.
Подставим в эти формулы числовые значения
d11 = 4, d12 = -2, d22 = 1, и матрица D=ВА имеет вид
Очевидно, АВ ¹ ВА, т.е. от перестановки сомножителей произведение изменилось, т.е. матрицы А и В не перестановочны.
Пример 5. Найти произведение С матрицы А на вектор – столбец
. 
.Умножение возможно, т.к. вектор
можно рассматривать как матрицу, имеющую 3 строки и 1 столбец, а матрица А имеет 3 столбца, и число ее столбцов равно числу строк вектора . Произведение С = А будет иметь порядок 4.1, т.е. будет вектором-столбцом с элементами с11, с21, с31, с41.с11 = 1.4-1.2+0 = 2; с21 = 0.4+2.2-4.1 = 0;
с31 = 4+2 = 6; с41 = -4+4 = 0.
.Таким образом, если умножение возможно, то произведение матрицы на вектор будет вектором.
Примеры решения задач на вычисление определителей.
Теория изложена в главе 2 §1.
Пример 1. Вычислить определитель .
Вычислим по правилу Саррюса
D = 1(-1) . (-5)+(-2)(-4)0+4(-3)3-0(-1)3-4(-2)(-5)-(-3)(-4)1=5+0-36+0-40-12=-83.
Пример 2. Вычислить определитель примера 1 разложением по первой строке.
Найдем алгебраические дополнения.
D = 1. (-7)+(-2)20+3(-12)=-7-40-36=-83.
Пример 3. Вычислить определитель 4го порядка.
.Найдем алгебраические дополнения А12, А13
D = 0.
Примеры решения задач на вычисление обратной матрицы.
Теория изложена в главе 3.
Пример 1. Найти обратную к матрице
Вычислим алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы
А11 = +(-4)=-4 А21 = -(-2)=2
А12 = -3 А22 = +1
Найдем определитель D = (А) = 1(-4)-3(-2)=-4+6=2
Проверка
.Пример 2. Найти обратную к матрице
D(А) = -2
Проверка
.Перечень умений.
| № п/п | Умение | Алгоритмы |
| 1 | Линейные операции над матрицами. Вычисление С=aА+bВ, где a,b - числа, А,В – заданные матрицы. | 1. Определить, имеют ли матрицы А и В одинаковый порядок. Если «да», то перейти к п.2, в противном случае вычислит С нельзя. 2. Умножить все элементы матрицы А на число a aА = (aаij)m,n3. Умножить все элементы матрицы В на число b bВ = (bbij)m,n4. Вычислить элементы матрицы С по формулам: сij = aаij + bbij , i = 1,2,…m, j = 1,2…n |
| 2 | Умножение матриц. Вычисление произведения матрицы А на В.С = АВ | 1. Проверить, совпадает ли число столбцов матрицы А = (аij)m,nс числом строк матрицы В = (bij)n,k(«согласованы» ли порядки множителей). Только в этом случае можно умножить А на В. В противном случае вычислить С нельзя. 2. Определить порядок матрицы произведения6С = (сij)m,kимеет порядок mxk, где m – число строк первого множителя А, k – число столбцов второго множителя В. 3. Вычислить каждый элемент матрицы произведения С по формулам:сij = аi1b1j + аi2b2j+ … + аinbnji = 1,2, …m, j = 1,2…n. 4. Выписать полученную матрицу С. |
| 3 | Вычисление определителей 3го порядка по правилу Саррюса | 1. По схеме Саррюса составить произведение трех элементов определителя, взяв по одному из строки и столбца. 2. Вычислить определитель, подсчитав сумму полученных произведений, взяв эти произведения с соответствующим знаком. |
| 4 | Вычисление определителей разложением по первой строке | 1. Найти миноры Mij элементов первой строки вычеркивая последовательно элементы первой строки и j-ый столбец (j = 1,2 …,n), составляя из оставшихся элементов определители.2. Найти алгебраические дополнения элементов первой строки А1j= (-1)1 + jMij3. Вычислить определитель 4. D = а11А11 + а12А12 +…+ а1nА1n |
| 5 | Вычисление обратной матрицы  | 1. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы Аij= (-1)i + jMij2. Вычислить определитель матрицы D(А)3. Найти обратную матрицу  |
Тренинг умений.
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1.
Задание
Вычислить матрицу С = 5А – В, где
.Решение.
Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
| № | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 1 | Определить, имеют ли матрицы А и В одинаковый порядок. Если «да», перейти к п.2, в противном случае вычислить С = 5А – В нельзя | Обе матрицы имеют порядок 2.3 (на первом месте число строк, на втором – число столбцов).Матрицы одного порядка, переходим к п.2. |
| 2 | Умножить все элементы А на число 5 |  |
| 3 | Умножить все элементы В на (-1) |  |
| 4 | Вычислить элементы матрицы С:сij = 5аij – вij |  |
Решите самостоятельно следующие задачи:
Задача 1.
Даны матрицы А и В. Найти С = 2А + 3В.
.Задача 2.
Даны матрицы А и В. Найти С = 3А – 2В.
.Пример выполнения упражнения тренинга на умение 2.
Задание
Даны матрицы А и В. Найти матрицу С = АВ, если возможно.
.Решение.
Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
| № | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 1 | Проверим, совпадает ли число столбцов матрицы А с числом строк В («согласованы» ли их порядки). В противном случае умножение А на В невозможно. | Матрица А имеет порядок 2.3, число ее столбцов равно 3, матрица В имеет порядок 3.3, число столбцов у нее 3, порядки «согласованы», существует произведение А на В С = АВ |
| 2 | Определить порядок матрицы произведения: С имеет порядок mxk , где m – число строк А, n – число столбцов В. | Порядок матрицы С будет 2.3, т.к. матрица А имеет 2 строки, а матрица В имеет 3 столбца С = (сij)23 |
| 3 | Вычислить каждый элемент матрицы С по формулам: сij = аi1b1j + аi2b2j+ … + аinbnji = 1,2, …m, j = 1,2…n. | Вычисляем элементы первой строки С: i = 1, j = 1,2,3 с11 = а11b11 + а12b21 + а13b31==(1.1)+2(-1)+(-1) .1=-2 с12 = а11b12 + а12b22 + а13b32==1.2+2. (-3)+(-1) .4=-8с13=а11b13 + а12b23 + а13b33==1.0+2.0+(-1) .1=-1Вычисляем элементы второй строки: i = 2, j = 1,2,3 с21=а21b11 + а22b21 + а23b31==3.1+1. (-1)+0.1=2с22=а21b12 + а22b22 + а13b32==3.2+1. (-3)+0.4=3с23=а21b13 + а22b23 + а23b33==3.0+1.0+0.1=0 |
| 4 | Выпишем полученную матрицу-произведение |  |
Решите самостоятельно следующие задачи.